Calcule a integral de linha , onde e é a circunferência 1 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde a função é igual a , e a curva é a circunferência definida por . Então, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula a soma de uma função ao longo de uma curva. No nosso caso, a curva é a circunferência de raio 1, já que .
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos parametrizar a curva . Uma maneira comum de parametrizar uma circunferência de raio 1 é usando funções trigonométricas. Assim, podemos definir:
onde varia de a para completar a circunferência.
Passo 4
Agora, precisamos expressar a função em termos do parâmetro . Como , substituindo os valores parametrizados temos:
Isso simplifica bastante nossa integral!
Passo 5
Em seguida, calculamos o diferencial de arco . Para isso, usamos as derivadas das funções parametrizadas:
Então,
Passo 6
Agora, podemos montar a integral de linha usando os resultados obtidos: