Calcule a integral de linha integralc f d s, onde f(x, y)=raizx^2+y^2 e c é a circunferência x^2+y^2= 1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha integralc f , ds, onde a função f(x, y) é igual a raizx^2+y^2, e a curva c é a circunferência definida por x^2+y^2=1. Então, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula a soma de uma função ao longo de uma curva. No nosso caso, a curva c é a circunferência de raio 1, já que x^2+y^2=1.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos parametrizar a curva c. Uma maneira comum de parametrizar uma circunferência de raio 1 é usando funções trigonométricas. Assim, podemos definir:
x(t) = cos t y(t) = sin t
onde t varia de 0 a 2pi para completar a circunferência.

Passo 4

Agora, precisamos expressar a função f(x, y) em termos do parâmetro t. Como f(x, y) = raizx^2+y^2, substituindo os valores parametrizados temos:
f(t) = raiz(cos t)^2 + (sin t)^2 = raizcos^2 t + sin^2 t = raiz1 = 1
Isso simplifica bastante nossa integral!

Passo 5

Em seguida, calculamos o diferencial de arco ds. Para isso, usamos as derivadas das funções parametrizadas:
dxdt = -sin t dydt = cos t
Então,
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 , dt = raizsin^2 t + cos^2 t , dt = raiz1 , dt = dt

Passo 6

Agora, podemos montar a integral de linha usando os resultados obtidos:
integralc f , ds = integral0^2pi 1 cdot dt = integral0^2pi dt

Passo 7

Integrando, temos:
integral0^2pi dt = t g|0^2pi = 2pi - 0 = 2pi

Resposta

O valor da integral de linha é 2pi.

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