Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para analisarmos a expressão
. Temos um campo escalar
e um campo vetorial
. Vamos precisar entender o que são o gradiente e a divergência, além de saber como eles interagem em operações como o produto vetorial. Nosso objetivo é verificar se essa expressão faz sentido matematicamente e, se sim, determinar se o resultado é um campo escalar ou vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada parte da expressão:
-
Gradiente de
( ): O gradiente de um campo escalar é um campo vetorial que aponta na direção de maior variação de . Em termos matemáticos, se , então Ou seja, é um vetor que contém as derivadas parciais deem relação às coordenadas. -
Divergência de
( ): A divergência de um campo vetorial é um campo escalar que mede a “taxa de expansão” ou “convergência” do campo em cada ponto. Matemáticamente, para , É uma medida de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em cada ponto.
Agora, vamos analisar a operação proposta:
.
O produto vetorial (representado por
) é uma operação que combina dois vetores para produzir outro vetor, perpendicular aos dois originais.
Aqui está o problema:
é um vetor, mas
é um escalar. O produto vetorial só está definido entre dois vetores, não entre um vetor e um escalar.
Resposta
A expressão
não tem significado, pois tenta realizar um produto vetorial entre um vetor (
) e um escalar (), o que não é definido matematicamente.
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Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. Use limite para encontrar o coeficiente angular da reta.
Calcule a integral de linha
, onde
e
é a circunferência
1 .
Considere o campo vetorial
definido por
Encontre uma função potencial
para
.
Encontre
usando a definição de derivada, isto é,
. Estabeleça os domínios da função e da derivada.