Considere a integral de linha integralc y2 d x-3 k x d y.
Utilizando k encontrado, encontre a função potencial varphi, onde varphi(0,0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral de linha dada por . O objetivo é encontrar o valor de que faz essa integral ser independente do caminho (ou seja, que exista uma função potencial ). Depois disso, usando esse , vamos determinar a função potencial sabendo que . Para isso, vamos precisar entender sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial associado à integral de linha. A integral corresponde ao campo vetorial . Agora, para que esse campo seja conservativo (ou seja, exista uma função potencial ), ele precisa satisfazer uma condição importante: as derivadas parciais devem ser iguais, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas parciais:
partial F1partial y = partialpartial y(y2) = 12
partial F2partial x = partialpartial x(-3k x) = -3k
Para que o campo seja conservativo, essas duas derivadas devem ser iguais:
12 = -3k

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar 12 = -3k Rightarrow k = -16 :
Então, encontramos que .

Passo 5

Com o valor de partial varphipartial x = F1 = y2 determinado, vamos encontrar a função potencial partial varphipartial y = F2 = -3k x = 12x (pois k = -16) . Sabemos que:
varphi(x, y) = integral y2 , dx = y2x + g(y)
partial varphipartial y = x2 + g'(y) = x2
Vamos integrar em relação a :
Onde é uma função que depende só de . Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso implica que , então é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
varphi(x, y) = y2x + C
Agora, usamos a condição varphi(0, 0) = 02 cdot 0 + C = 1 Rightarrow C = 1 para encontrar :

Resposta

A função potencial é .

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