Considere a integral de linha
.
Utilizando
encontrado, encontre a função potencial
, onde
.
Utilizando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral de linha dada por
. O objetivo é encontrar o valor de
que faz essa integral ser independente do caminho (ou seja, que exista uma função potencial
). Depois disso, usando esse
, vamos determinar a função potencial
sabendo que
. Para isso, vamos precisar entender sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial associado à integral de linha. A integral
corresponde ao campo vetorial
. Agora, para que esse campo seja conservativo (ou seja, exista uma função potencial
), ele precisa satisfazer uma condição importante: as derivadas parciais devem ser iguais, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Para que o campo seja conservativo, essas duas derivadas devem ser iguais:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
:
Então, encontramos que
.
Passo 5
Com o valor de
determinado, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função que depende só de
. Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Portanto, a função potencial é:
Agora, usamos a condição
para encontrar
:
Resposta
A função potencial é
.
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Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. Use limite para encontrar o coeficiente angular da reta.
Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. Use limite para encontrar o coeficiente angular da reta.
Calcule a integral de linha
, onde
e
é a circunferência
1 .