Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. Use limite para encontrar o coeficiente angular da reta.
y = 2 x - 3 x^2, (2, -8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de limite para determinar o coeficiente angular da reta tangente, que é a inclinação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Para encontrar essa inclinação, usamos a derivada da função nesse ponto. Porém, como o exercício pede para usarmos o limite, vamos aplicar a definição de derivada via limite.
A fórmula da derivada de no ponto é:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa função no ponto :
Primeiro, calculamos :
E sabemos que . Substituindo na fórmula da derivada:
Então, o coeficiente angular da reta tangente é .

Passo 4

Agora que temos a inclinação da reta tangente, vamos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Onde:
  • é a inclinação,
  • é o ponto dado.
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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