Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. Use limite para encontrar o coeficiente angular da reta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de limite para determinar o coeficiente angular da reta tangente, que é a inclinação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Para encontrar essa inclinação, usamos a derivada da função nesse ponto. Porém, como o exercício pede para usarmos o limite, vamos aplicar a definição de derivada via limite.
A fórmula da derivada de
no ponto
é:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à nossa função
no ponto
:
Primeiro, calculamos
:
E sabemos que
. Substituindo na fórmula da derivada:
Então, o coeficiente angular da reta tangente é
.
Passo 4
Agora que temos a inclinação da reta tangente, vamos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Onde:
-
é a inclinação, -
é o ponto dado.
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é
.