Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. Use limite para encontrar o coeficiente angular da reta.
y = 2 * raiz(x), (1,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de limite para determinar o coeficiente angular da reta, que é a derivada da função nesse ponto. Ou seja, vamos precisar entender como calcular a derivada usando limites e, com isso, achar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Para encontrar essa inclinação, usamos a definição de derivada pelo limite:
Aqui, é o coeficiente angular que queremos encontrar, é a função dada , e é o valor de no ponto de tangência, que nesse caso é 1.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula da derivada:
Simplificando, já que :

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado :
No numerador, usamos a identidade :

Passo 5

Agora, podemos simplificar o no numerador e denominador:
Quando se aproxima de 0, se aproxima de :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

Exercícios relacionados