Calcule a integral de linha
, onde
e
é o caminho parametrizado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral. A gente precisa calcular a integral de linha
, onde a função
. O caminho
é dado pela parametrização
para
.
Aqui, estamos lidando com integrais de linha em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar parametrizar o caminho, substituir na função
, e calcular o diferencial de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização do caminho
. A função
significa que, conforme
varia de
até
, as coordenadas
,
e
mudam de igual maneira. Ou seja, para cada valor de
, temos
.
Passo 3
Agora, vamos substituir a parametrização na função
. Como
,
, e
, temos:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar o diferencial de arco
. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
:
A magnitude de
é:
Então,
.
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral de linha:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Resposta
O valor da integral de linha é
.