Calcule a integral de linha integralc f d s, onde f(x, y, z)=x+y+zx^2+y^2+z^2 e c é o caminho parametrizado por r(t)=(t, t, t), 1 <= t <= e.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral. A gente precisa calcular a integral de linha integralc f , ds, onde a função f(x, y, z) = x + y + zx^2 + y^2 + z^2. O caminho c é dado pela parametrização r(t) = (t, t, t) para 1 <= t <= e.
Aqui, estamos lidando com integrais de linha em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar parametrizar o caminho, substituir na função f, e calcular o diferencial de arco ds.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização do caminho c. A função r(t) = (t, t, t) significa que, conforme t varia de 1 até e, as coordenadas x, y e z mudam de igual maneira. Ou seja, para cada valor de t, temos x = y = z = t.

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização na função f(x, y, z). Como x = t, y = t, e z = t, temos:
f(r(t)) = t + t + tt^2 + t^2 + t^2 = 3t3t^2 = 1t

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o diferencial de arco ds. Para isso, calculamos a derivada de r(t) em relação a t:
r'(t) = ddt(t, t, t) = (1, 1, 1)
A magnitude de r'(t) é:
|r'(t)| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Então, ds = |r'(t)| , dt = raiz3 , dt.

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral de linha:
integralc f , ds = integral1^e 1t cdot raiz3 , dt = raiz3 integral1^e 1t , dt

Passo 6

Vamos calcular a integral:
raiz3 integral1^e 1t , dt = raiz3 [ ln|t| ]1^e = raiz3 (ln e - ln 1) = raiz3 (1 - 0) = raiz3

Resposta

O valor da integral de linha é raiz3.

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