Determine se existe ou não
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para
diferente de zero e para
. A questão é saber se a derivada dessa função no ponto
, ou seja,
, existe. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função quando
se aproxima de zero. Matematicamente, isso é representado por:
Vamos aplicar isso à nossa função.
Passo 3
Sabemos que para
, e para
,
. Então, substituindo na fórmula da derivada:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 4
Fatorando o 2 no numerador:
Agora, precisamos entender o comportamento de quando
se aproxima de zero.
Passo 5
Lembrando que , podemos expandir usando a série de Taylor:
Portanto:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Assim, quando
se aproxima de zero, essa expressão tende a zero.
Passo 7
Finalmente, multiplicando pelo 2:
Resposta
Sim, a derivada
existe e é igual a zero.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
, onde
e
é o caminho parametrizado por
.
Seja função
uma função real.
(b) Encontre uma fórmula para e esboce os gráficos de
e
no mesmo sistema de eixos.
(b) Encontre uma fórmula para
Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
Considere a integral de linha
.
Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de a
.
Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de