Determine se existe ou não f'(0).
f(x) = { 2 sen(x)/x, x ≠ 0; 2, x = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para diferente de zero e para . A questão é saber se a derivada dessa função no ponto , ou seja, , existe. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função quando se aproxima de zero. Matematicamente, isso é representado por:
Vamos aplicar isso à nossa função.

Passo 3

Sabemos que para , e para , . Então, substituindo na fórmula da derivada:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 4

Fatorando o 2 no numerador:
Agora, precisamos entender o comportamento de quando se aproxima de zero.

Passo 5

Lembrando que , podemos expandir usando a série de Taylor:
Portanto:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Assim, quando se aproxima de zero, essa expressão tende a zero.

Passo 7

Finalmente, multiplicando pelo 2:

Resposta

Sim, a derivada existe e é igual a zero.

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