Considere a integral de linha
.
Com a função potencial encontrada, calcule a integral percorrendo de
a
.
Com a função potencial encontrada, calcule a integral percorrendo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos uma integral de linha da função
. Primeiro, precisamos entender que estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com integrais de linha. O objetivo é encontrar uma função potencial para essa integral e, depois, calcular o valor dessa integral ao percorrermos o caminho de
até
. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de campos vetoriais conservativos e encontrar uma função
tal que suas derivadas parciais correspondam aos termos da integral.
Passo 2
Vamos começar identificando os componentes do campo vetorial. Temos:
Queremos encontrar uma função
tal que:
Isso significa que a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual a
e a derivada parcial em relação a
deve ser igual a
. Se conseguirmos encontrar tal função
, então nossa integral de linha será simplesmente
.
Passo 3
Primeiro, vamos integrar
em relação a
para encontrar uma parte de
. Integramos:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a derivada de
em relação a
não depende de
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
que encontramos em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Igualando a
:
Vamos rearranjar os termos:
Aqui notamos que para
ser uma função que depende apenas de
, os termos que envolvem
devem se cancelar.
Passo 5
Igualando os coeficientes de
para eliminar a dependência de
, temos:
Fatorando
:
Para que essa equação seja válida para todo
e
, os coeficientes devem ser zero:
Resolvendo, obtemos que
.
Passo 6
Com
, voltamos à nossa função
:
E a equação para
se torna:
Então:
Mas como
, nosso campo vetorial se simplifica, e podemos concluir que
pode ser uma constante, já que os termos envolvendo
já estão contemplados na função
.
Passo 7
Portanto, a função potencial é:
Onde
é uma constante que, para a integral de linha, não afetará o resultado final.
Resposta
A integral de linha ao percorrer de
a
é:
Então, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Uma partícula move-se ao longo de uma curva com equação do movimento
, onde
é medido em metros e
em segundos. Encontre a velocidade
quando
usando a definição de derivada.
Uma partícula move-se ao longo de uma curva com equação do movimento
, onde
é medido em metros e
em segundos. Encontre a velocidade
quando
usando a definição de derivada.
Seja função
uma função real.
(b) Encontre uma fórmula para e esboce os gráficos de
e
no mesmo sistema de eixos.
(b) Encontre uma fórmula para
Calcule a integral de linha
, onde
e
é o caminho parametrizado por
.