Considere a integral de linha integralc(y^2-x y) d x+k(x^2-4 x y) d y.
Com a função potencial encontrada, calcule a integral percorrendo de (0,0) a (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos uma integral de linha da função integralC(y^2-x y) dx + k(x^2-4 x y) dy. Primeiro, precisamos entender que estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com integrais de linha. O objetivo é encontrar uma função potencial para essa integral e, depois, calcular o valor dessa integral ao percorrermos o caminho de (0,0) até (1,1). Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de campos vetoriais conservativos e encontrar uma função F(x, y) tal que suas derivadas parciais correspondam aos termos da integral.

Passo 2

Vamos começar identificando os componentes do campo vetorial. Temos:
P(x, y) = y^2 - x y e Q(x, y) = k(x^2 - 4 x y)
Queremos encontrar uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = P(x, y) e partial Fpartial y = Q(x, y)
Isso significa que a derivada parcial de F em relação a x deve ser igual a P(x, y) e a derivada parcial em relação a y deve ser igual a Q(x, y). Se conseguirmos encontrar tal função F, então nossa integral de linha será simplesmente F(1,1) - F(0,0).

Passo 3

Primeiro, vamos integrar P(x, y) em relação a x para encontrar uma parte de F(x, y). Integramos:
F(x, y) = integral P(x, y) , dx = integral (y^2 - x y) , dx = y^2 x - 12 x^2 y + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y, já que a derivada de F em relação a x não depende de g(y).

Passo 4

Agora, vamos derivar F(x, y) que encontramos em relação a y e igualar a Q(x, y) para encontrar g(y):
partial Fpartial y = 2 y x - 12 x^2 + g'(y)
Igualando a Q(x, y):
2 y x - 12 x^2 + g'(y) = k(x^2 - 4 x y)
Vamos rearranjar os termos:
g'(y) = k(x^2 - 4 x y) - 2 y x + 12 x^2
Aqui notamos que para g'(y) ser uma função que depende apenas de y, os termos que envolvem x devem se cancelar.

Passo 5

Igualando os coeficientes de x para eliminar a dependência de x, temos:
k x^2 - 4 k x y - 2 x y + 12 x^2 = 0
Fatorando x:
x (k x - 4 k y - 2 y) + 12 x^2 = 0
Para que essa equação seja válida para todo x e y, os coeficientes devem ser zero:
k = 0 e -4 k y - 2 y = 0
Resolvendo, obtemos que k = 0.

Passo 6

Com k = 0, voltamos à nossa função F(x, y):
F(x, y) = y^2 x - 12 x^2 y + g(y)
E a equação para g'(y) se torna:
partial Fpartial y = 2 y x - 12 x^2 + g'(y) = 0
Então:
g'(y) = -2 y x + 12 x^2
Mas como k = 0, nosso campo vetorial se simplifica, e podemos concluir que g(y) pode ser uma constante, já que os termos envolvendo x já estão contemplados na função F(x, y).

Passo 7

Portanto, a função potencial é:
F(x, y) = y^2 x - 12 x^2 y + C
Onde C é uma constante que, para a integral de linha, não afetará o resultado final.

Resposta

A integral de linha ao percorrer de (0,0) a (1,1) é:
F(1,1) - F(0,0) = (1^2 cdot 1 - 12 cdot 1^2 cdot 1) - 0 = 1 - 12 = 12
Então, o valor da integral é 12.

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