Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo escalar
e queremos analisar a expressão
. O conteúdo envolvido aqui são os conceitos de gradiente, rotacional (ou curl) e divergente em cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar saber o que cada uma dessas operações faz e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O
de um campo escalar
resulta em um campo vetorial que aponta na direção de maior aumento de
. Em termos simples, ele nos mostra como
está mudando no espaço.
Passo 3
Agora, aplicamos o rotacional, ou
, ao resultado do gradiente. O
tenta medir a tendência do campo vetorial resultante de girar em torno de cada ponto. Mas, há uma propriedade importante em cálculo vetorial que diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero. Isso porque o gradiente é um campo conservativo, que não tem “rodízios” ou “girações”.
Passo 4
Finalmente, aplicamos a divergente, ou
, ao resultado do rotacional. A divergente mede a tendência de um campo vetorial se dispersar a partir de um ponto. Entretanto, como já vimos que
, quando aplicamos a divergente a zero, continuamos com zero.
Resposta
A expressão
tem significado e o resultado é um campo escalar nulo (igual a zero).
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Determine se existe ou não
.
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, onde
e
é o caminho parametrizado por
.
Considere a integral de linha
.
Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de a
.
Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de
Mude de coordenadas retangulares para cilíndricas.
(a)
(a)