Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
div(rot(grad(f)))

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo escalar e queremos analisar a expressão . O conteúdo envolvido aqui são os conceitos de gradiente, rotacional (ou curl) e divergente em cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar saber o que cada uma dessas operações faz e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O de um campo escalar resulta em um campo vetorial que aponta na direção de maior aumento de . Em termos simples, ele nos mostra como está mudando no espaço.

Passo 3

Agora, aplicamos o rotacional, ou , ao resultado do gradiente. O tenta medir a tendência do campo vetorial resultante de girar em torno de cada ponto. Mas, há uma propriedade importante em cálculo vetorial que diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero. Isso porque o gradiente é um campo conservativo, que não tem “rodízios” ou “girações”.

Passo 4

Finalmente, aplicamos a divergente, ou , ao resultado do rotacional. A divergente mede a tendência de um campo vetorial se dispersar a partir de um ponto. Entretanto, como já vimos que , quando aplicamos a divergente a zero, continuamos com zero.

Resposta

A expressão tem significado e o resultado é um campo escalar nulo (igual a zero).

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