Seja função
uma função real.
(b) Encontre uma fórmula para
e esboce os gráficos de
e
no mesmo sistema de eixos.
(b) Encontre uma fórmula para
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
e depois esboçar os gráficos de
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas de funções absolutas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções absolutas, que envolvem casos diferentes dependendo do valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
. Podemos fatorar dessa forma:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Para encontrar a derivada de
, precisamos considerar os diferentes comportamentos da função dentro e fora do ponto onde o valor absoluto muda de sinal, que é em
.
Passo 4
Vamos dividir em dois casos:
-
Quando
: -
é positivo, então - Portanto,
- A derivada de
em relação a é:
-
-
Quando
: -
é negativo, então - Portanto,
- A derivada de
em relação a é:
-
Passo 5
No ponto
, a função
tem um “vértice” e a derivada não está definida, pois há uma mudança abrupta na inclinação da função. Assim,
não existe.
Resposta
A derivada de
é dada por: