Seja função f(x) = |3x - 6| uma função real.
(b) Encontre uma fórmula para f'(x) e esboce os gráficos de f e f' no mesmo sistema de eixos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função e depois esboçar os gráficos de e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas de funções absolutas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções absolutas, que envolvem casos diferentes dependendo do valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto: . Podemos fatorar dessa forma:
Então, nossa função fica:

Passo 3

Para encontrar a derivada de , precisamos considerar os diferentes comportamentos da função dentro e fora do ponto onde o valor absoluto muda de sinal, que é em .

Passo 4

Vamos dividir em dois casos:
  1. Quando :
    • é positivo, então
    • Portanto,
    • A derivada de em relação a é:
  2. Quando :
    • é negativo, então
    • Portanto,
    • A derivada de em relação a é:

Passo 5

No ponto , a função tem um “vértice” e a derivada não está definida, pois há uma mudança abrupta na inclinação da função. Assim, não existe.

Resposta

A derivada de é dada por:

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