Calcule a integral de linha.
, sendo
a semicircunferência
com
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
, onde
é a semicircunferência definida pela equação
com
.
Conteúdo da matéria: Integral de linha, parametrização de curvas, cálculo de elementos diferenciais
.
O que vamos precisar: Saber como parametrizar uma semicircunferência, calcular
em termos do parâmetro escolhido e integrar a função ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a semicircunferência
. Uma boa escolha é usar coordenadas polares:
onde
varia de
a
para cobrir a parte superior da circunferência (
).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento diferencial
. Ao parametrizar a curva,
pode ser calculado usando:
Calculando as derivadas:
Substituindo na fórmula de
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na integral original:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Calculando as integrais:
Passo 6
Avaliar as integrais nos limites de
a
:
Substituindo
8 - (-8) = 16 :
Substituindo
:
Calculando a diferença:
Resposta
A integral de linha
vale 16.