Calcule a integral de linha. integralC(x+2 y) d s, sendo C a semicircunferência x^2+y^2=4 com y >= 0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha , onde é a semicircunferência definida pela equação com .
Conteúdo da matéria: Integral de linha, parametrização de curvas, cálculo de elementos diferenciais .
O que vamos precisar: Saber como parametrizar uma semicircunferência, calcular em termos do parâmetro escolhido e integrar a função ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a semicircunferência x = 2 costheta, y = 2 sintheta . Uma boa escolha é usar coordenadas polares:
onde varia de a para cobrir a parte superior da circunferência ( ).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento diferencial ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta . Ao parametrizar a curva, dxdtheta = -2 sintheta, dydtheta = 2 costheta pode ser calculado usando:
ds = raiz(-2 sintheta)^2 + (2 costheta)^2 , dtheta = raiz4 sin^2theta + 4 cos^2theta , dtheta = raiz4(sin^2theta + cos^2theta) , dtheta = 2 , dtheta
Calculando as derivadas:
Substituindo na fórmula de :

Passo 4

Agora, substituímos integralC(x + 2y) , ds = integral0^pi (2 costheta + 2 times 2 sintheta) times 2 , dtheta = integral0^pi (2 costheta + 4 sintheta) times 2 , dtheta = integral0^pi (4 costheta + 8 sintheta) , dtheta , e na integral original:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^pi 4 costheta , dtheta + integral0^pi 8 sintheta , dtheta
Calculando as integrais:
4 integral costheta , dtheta = 4 sintheta
8 integral sintheta , dtheta = -8 costheta

Passo 6

Avaliar as integrais nos limites de 4 sintheta - 8 costheta |0^pi a 4 sinpi - 8 cospi = 4 times 0 - 8 times (-1) = 8 :
4 sin0 - 8 cos0 = 4 times 0 - 8 times 1 = -8
Substituindo 8 - (-8) = 16 :
Substituindo :
Calculando a diferença:

Resposta

A integral de linha vale 16.

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