Use o critério do termo geral para concluir se a série é divergente ou que o teste é inconclusivo
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Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma série infinita:
. O objetivo é usar o critério do termo geral para descobrir se essa série diverge (ou seja, não tem soma finita) ou se o teste fica inconclusivo.
Matéria envolvida: Série infinita e critérios de convergência, especificamente o critério do termo geral.
O que vamos precisar: Entender como aplicar o critério do termo geral e analisar o comportamento do termo geral da série quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
Então, a série fica:
Isso significa que estamos somando os negativos dos logaritmos naturais de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o critério do termo geral, que diz que se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, então a série diverge.
Matematicamente:
No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos calcular o limite do termo geral:
Esse limite claramente não é zero.
Passo 5
De acordo com o critério do termo geral que vimos, como o limite do termo geral não é zero (nesse caso, é menos infinito), podemos concluir que a série não converge, ou seja, ela diverge.
Resposta
A série
diverge pelo critério do termo geral, já que o limite do termo geral não é zero.