Use o critério do termo geral para concluir se a série é divergente ou que o teste é inconclusivo
c) sumk=1^infty ln (1k)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma série infinita: sumk=1^infty ln (1k). O objetivo é usar o critério do termo geral para descobrir se essa série diverge (ou seja, não tem soma finita) ou se o teste fica inconclusivo.
Matéria envolvida: Série infinita e critérios de convergência, especificamente o critério do termo geral.
O que vamos precisar: Entender como aplicar o critério do termo geral e analisar o comportamento do termo geral da série quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
ln(1k) = -ln(k)
Então, a série fica:
sumk=1^infty ln(1k) = sumk=1^infty (-ln(k)) = -sumk=1^infty ln(k)
Isso significa que estamos somando os negativos dos logaritmos naturais de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o critério do termo geral, que diz que se o limite do termo geral Se limk to infty ak neq 0, então a série sum ak diver>= quando tende ao infinito não for zero, então a série diverge.
Matematicamente:
ãé
No nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular o limite do termo geral:
limk to infty ak = limk to infty (-ln(k)) = -infty
Esse limite claramente não é zero.

Passo 5

De acordo com o critério do termo geral que vimos, como o limite do termo geral não é zero (nesse caso, é menos infinito), podemos concluir que a série não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

A série sumk=1^infty ln (1k) diverge pelo critério do termo geral, já que o limite do termo geral não é zero.

Exercícios relacionados