Calcule o volume dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume da região delimitada pela inequação
. Aqui, estamos lidando com geometria no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas, que facilitam trabalhar com cilindros e superfícies circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. A inequação
descreve uma zona entre duas superfícies: uma parabólica
e um plano horizontal
. Para achar o volume entre essas duas superfícies, coordenadas cilíndricas são ótimas porque
vira
, simplificando a expressão.
Passo 3
Vamos traduzir tudo para coordenadas cilíndricas:
A inequação fica
. O próximo passo é determinar os limites de
. Quando
, temos
→
→
. Então,
vai de 0 a 1,
vai de 0 a
, e
vai de
a 4.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral para o volume:
Integrando com relação a
:
Integrando com relação a
:
Por fim, integrando com relação a
:
Resposta
O volume da região é
unidades cúbicas.