Calcule o volume dado por x^2 + y^2 + 3 <= z <= 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume da região delimitada pela inequação . Aqui, estamos lidando com geometria no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas, que facilitam trabalhar com cilindros e superfícies circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. A inequação descreve uma zona entre duas superfícies: uma parabólica e um plano horizontal . Para achar o volume entre essas duas superfícies, coordenadas cilíndricas são ótimas porque vira , simplificando a expressão.

Passo 3

Vamos traduzir tudo para coordenadas cilíndricas:
A inequação fica . O próximo passo é determinar os limites de . Quando , temos . Então, vai de 0 a 1, vai de 0 a , e vai de a 4.

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral para o volume:
Integrando com relação a :
Integrando com relação a :
Por fim, integrando com relação a :

Resposta

O volume da região é unidades cúbicas.

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