Calcule a integral de linha.
. Sendo
a hélice circular dada por
e
do ponto
até
.
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a integral de linha
. O que isso significa? Basicamente, vamos somar os valores da função
ao longo do caminho
, que no caso é uma hélice circular. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a hélice, encontrar uma expressão para
(que representa um pequeno trecho do caminho), e então fazer a integral usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites do parâmetro
. Sabemos que a hélice é dada por:
O ponto inicial
corresponde a
porque:
O ponto final
corresponde a
porque:
Então, nosso parâmetro
vai de
a
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a função que vamos integrar em termos de
. A função é:
Substituindo as expressões paramétricas:
Então:
E sabemos que
, então simplificamos para:
Passo 4
Precisamos agora encontrar
, que representa um pequeno trecho do caminho. Para isso, calculamos a derivada da posição em relação a
e depois a magnitude dessa derivada:
Derivando em relação a
:
A magnitude de
é:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral substituindo tudo que encontramos:
Fatorando a constante
:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de
a
:
Multiplicando pela
:
Resposta
A integral de linha é igual a
.