Calcule a integral de linha. integralC(x^2+y^2+z) d s. Sendo C a hélice circular dada por x=cos (t), y=sen(t) e z=t do ponto P(1,0,0) até Q(-1,0, pi).

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral de linha integralC(x^2+y^2+z) d s. O que isso significa? Basicamente, vamos somar os valores da função x^2+y^2+z ao longo do caminho C, que no caso é uma hélice circular. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a hélice, encontrar uma expressão para ds (que representa um pequeno trecho do caminho), e então fazer a integral usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites do parâmetro t. Sabemos que a hélice é dada por:
x = cos(t), y = sin(t), z = t
O ponto inicial P(1, 0, 0) corresponde a t = 0 porque:
x = cos(0) = 1, y = sin(0) = 0, z = 0
O ponto final Q(-1, 0, pi) corresponde a t = pi porque:
x = cos(pi) = -1, y = sin(pi) = 0, z = pi
Então, nosso parâmetro t vai de 0 a pi.

Passo 3

Agora, vamos expressar a função que vamos integrar em termos de t. A função é:
x^2 + y^2 + z
Substituindo as expressões paramétricas:
x^2 = cos^2(t), y^2 = sin^2(t), z = t
Então:
x^2 + y^2 + z = cos^2(t) + sin^2(t) + t
E sabemos que cos^2(t) + sin^2(t) = 1, então simplificamos para:
1 + t

Passo 4

Precisamos agora encontrar ds, que representa um pequeno trecho do caminho. Para isso, calculamos a derivada da posição em relação a t e depois a magnitude dessa derivada:
r(t) = ( cos(t), sin(t), t )
Derivando em relação a t:
r,'(t) = ( -sin(t), cos(t), 1 )
A magnitude de r,'(t) é:
|r,'(t)| = raiz(-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + 1^2 = raizsin^2(t) + cos^2(t) + 1 = raiz1 + 1 = raiz2
Então, ds = raiz2, dt.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral substituindo tudo que encontramos:
integralC(x^2+y^2+z) d s = integral0^pi (1 + t) cdot raiz2, dt
Fatorando a constante raiz2:
raiz2 integral0^pi (1 + t) , dt

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral (1 + t) , dt = integral 1 , dt + integral t , dt = t + t^22
Aplicando os limites de 0 a pi:
[ t + t^22 ]0^pi = ( pi + pi^22 ) - ( 0 + 0 ) = pi + pi^22
Multiplicando pela raiz2:
raiz2 ( pi + pi^22 ) = raiz2, pi + raiz2, pi^22

Resposta

A integral de linha é igual a raiz2, pi + dfracraiz2, pi^22.

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