Calcule a integral de linha
onde
é o arco cúbico
de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral
onde
é a curva cúbica
que vai do ponto
até
. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. Como
, podemos usar
como nosso parâmetro. Assim, definimos:
onde
varia de 1 a 2, já que os pontos começam em
e vão até
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas dos parâmetros em relação a
:
Essas derivadas nos ajudarão a substituir
e
na integral original.
Passo 4
Agora, substituímos
,
,
e
na integral:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral:
Avaliado de 1 a 2:
Resposta
A integral de linha é igual a 30.
Exercícios relacionados
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
ao longo de
, onde
é o segmento de reta de
até
.
Confirme que a função
, definida em todo plano
, é função potencial do campo vetorial
Considere o campo vetorial
.
O campo , definido em todo plano
, é conservativo? Justifique sua resposta. Se sim, encontre uma função
tal que
.
O campo
Calcule a integral de linha
ao longo da curva
de equações paramétricas
.