Calcule a integral de linha
integralC(2 x^3+3 y) d x+x d y
onde C é o arco cúbico y=x^3 de (1,1) até (2,8).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral
integralC(2 x^3+3 y) d x + x d y
onde é a curva cúbica que vai do ponto até . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva x = t y = t^3 . Como , podemos usar como nosso parâmetro. Assim, definimos:
onde varia de 1 a 2, já que os pontos começam em e vão até .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas dos parâmetros em relação a dxdt = 1 dydt = 3 t^2 :
Essas derivadas nos ajudarão a substituir e na integral original.

Passo 4

Agora, substituímos integral1^2 (2 t^3 + 3 t^3) cdot 1 , dt + t cdot 3 t^2 , dt , integral1^2 (5 t^3 + 3 t^3) dt = integral1^2 8 t^3 , dt , e na integral:
Simplificando os termos dentro da integral:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral:
integral 8 t^3 , dt = 8 cdot t^44 = 2 t^4
Avaliado de 1 a 2:
2 (2^4) - 2 (1^4) = 2 cdot 16 - 2 cdot 1 = 32 - 2 = 30

Resposta

A integral de linha é igual a 30.

Exercícios relacionados