Confirme que a função phi(x, y) = y^3 + 2xy^2 - x^2y^3 + 10x, definida em todo plano x y, é função potencial do campo vetorial
F(x, y) = < 2y^2 - 2xy^3 + 10, 3y^2 + 4xy - 3x^2y^2 >

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e um campo vetorial . A tarefa é verificar se é uma função potencial para o campo vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre funções potenciais e gradientes.

Passo 2

Uma função é uma função potencial para o campo vetorial se for o gradiente de . Isso significa que:
Então, nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de em relação a e e verificar se elas correspondem às componentes de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Calculando termo a termo:
  • (porque é tratado como constante)
Somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Calculando termo a termo:
  • (porque é tratado como constante)
Somando tudo:

Passo 5

Agora, comparamos as derivadas parciais que encontramos com os componentes do campo vetorial :
Observamos que:
Essas expressões são exatamente as componentes de . Portanto, é o gradiente de .

Resposta

Sim, a função é uma função potencial do campo vetorial .

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