Confirme que a função
, definida em todo plano
, é função potencial do campo vetorial
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e um campo vetorial
. A tarefa é verificar se
é uma função potencial para o campo vetorial
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre funções potenciais e gradientes.
Passo 2
Uma função
é uma função potencial para o campo vetorial
se
for o gradiente de
. Isso significa que:
Então, nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e verificar se elas correspondem às componentes de
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Calculando termo a termo:
-
(porque é tratado como constante) -
-
-
Somando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Calculando termo a termo:
-
-
-
-
(porque é tratado como constante)
Somando tudo:
Passo 5
Agora, comparamos as derivadas parciais que encontramos com os componentes do campo vetorial
:
Observamos que:
Essas expressões são exatamente as componentes de
. Portanto,
é o gradiente de
.
Resposta
Sim, a função
é uma função potencial do campo vetorial
.