Considere o campo vetorial
.
O campo
, definido em todo plano
, é conservativo? Justifique sua resposta. Se sim, encontre uma função
tal que
.
O campo
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o campo vetorial
e verificar se ele é conservativo no plano todo
. Se for, precisamos encontrar uma função potencial
tal que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente e a condição para um campo ser conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar
cuja derivada em cada direção corresponde aos componentes do campo. Ou seja,
. Essa propriedade também implica que o campo não tem “circulação” ao redor de nenhum caminho fechado, o que matematicamente se traduz na condição de que a rotaional (ou curl) do campo seja zero.
Passo 3
Vamos calcular a rotaional do campo
. Em duas dimensões, a rotaional de
é dada por:
Para o nosso campo,
e
. Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Como a rotaional do campo
não é zero (
), isso significa que o campo não é conservativo. Portanto, não existe uma função potencial
tal que
.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo no plano
porque sua rotaional é diferente de zero.
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.
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.
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