Considere o campo vetorial .
O campo , definido em todo plano , é conservativo? Justifique sua resposta. Se sim, encontre uma função tal que .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o campo vetorial e verificar se ele é conservativo no plano todo . Se for, precisamos encontrar uma função potencial tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente e a condição para um campo ser conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar cuja derivada em cada direção corresponde aos componentes do campo. Ou seja, . Essa propriedade também implica que o campo não tem “circulação” ao redor de nenhum caminho fechado, o que matematicamente se traduz na condição de que a rotaional (ou curl) do campo seja zero.

Passo 3

Vamos calcular a rotaional do campo . Em duas dimensões, a rotaional de é dada por:
Para o nosso campo, e . Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 4

Como a rotaional do campo não é zero ( ), isso significa que o campo não é conservativo. Portanto, não existe uma função potencial tal que .

Resposta

O campo vetorial não é conservativo no plano porque sua rotaional é diferente de zero.

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha
onde é o arco cúbico de até .
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo de , onde é o segmento de reta de até .
Calcule a integral de linha
ao longo da curva de equações paramétricas .
Considere o campo vetorial .
Calcule o trabalho que o campo de forças realiza em uma partícula que se desloca uma volta no círculo no sentido anti-horário começando e terminando no ponto .