Calcule a integral de linha
integralC y d x+z d y-x d z
ao longo da curva C de equações paramétricas x=e^t, y=e^2 t, z=e^-2 t, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha ao longo da curva dada pelas equações paramétricas , , com variando de 0 a 1. Isso envolve entender integrais de linha e como parametrizar curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar , e em termos de . Para isso, derivamos , e em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas:
dxdt = e^t, dydt = 2e^2t, dzdt = -2e^-2t

Passo 4

Agora, substituímos integral0^1 ( e^2t cdot e^t + e^-2t cdot 2e^2t - e^t cdot (-2e^-2t) ) dt , , e suas derivadas na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
e^3t + 2e^0 + 2e^-t = e^3t + 2 + 2e^-t

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral0^1 e^3t , dt + integral0^1 2 , dt + integral0^1 2e^-t , dt

Passo 7

Calculamos as integrais:
[ 13e^3t ]0^1 + [ 2t ]0^1 + [ -2e^-t ]0^1
= e^3 - 13 + 2(1) - 2(e^-1 - 1)

Passo 8

Simplificando os termos:
e^3 - 13 + 2 - 2e^-1 + 2
= e^3 - 13 + 4 - 2e^-1

Resposta

A integral de linha vale .

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