(2,5) Calcule a integral de linha , onde è o segmento de reta de a

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais de linha, que faz parte do estudo de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a reta que vai de até e entender como calcular , que representa um pequeno trecho do caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta . Uma forma simples de fazer isso é usando um parâmetro que varia de 0 a 1. As coordenadas de qualquer ponto na reta podem ser escritas como:
Aqui, quando , temos o ponto , e quando , chegamos em . Isso significa que nos ajuda a “andar” ao longo da reta.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar , que é o diferencial de arco. Para isso, calculamos a derivada da posição em relação a :
O comprimento desse vetor derivada nos dá :

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral original. Sabemos que , então:
Perceba que e são constantes e podem ser retiradas da integral:

Passo 5

Vamos agora calcular a integral restante:

Passo 6

Finalmente, multiplicamos os fatores que retiramos:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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