(2,5) Calcule a integral de linha
, onde
è o segmento de reta de
a
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha
. Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais de linha, que faz parte do estudo de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a reta que vai de
até
e entender como calcular
, que representa um pequeno trecho do caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta
. Uma forma simples de fazer isso é usando um parâmetro
que varia de 0 a 1. As coordenadas de qualquer ponto na reta podem ser escritas como:
Aqui, quando
, temos o ponto
, e quando
, chegamos em
. Isso significa que
nos ajuda a “andar” ao longo da reta.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é o diferencial de arco. Para isso, calculamos a derivada da posição
em relação a
:
O comprimento desse vetor derivada nos dá
:
Passo 4
Agora, substituímos tudo na integral original. Sabemos que
, então:
Perceba que
e
são constantes e podem ser retiradas da integral:
Passo 5
Vamos agora calcular a integral restante:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos os fatores que retiramos:
Resposta
A integral de linha é igual a
.