(2,5) Calcule a integral de linha integralC x e^81 d s, onde C è o segmento de reta de (0,0,0) a (6,7,8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha integralC x e^81 , d s. Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais de linha, que faz parte do estudo de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a reta que vai de (0,0,0) até (6,7,8) e entender como calcular d s, que representa um pequeno trecho do caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta C. Uma forma simples de fazer isso é usando um parâmetro t que varia de 0 a 1. As coordenadas de qualquer ponto na reta podem ser escritas como:
r(t) = (6t, 7t, 8t)
Aqui, quando t = 0, temos o ponto (0,0,0), e quando t = 1, chegamos em (6,7,8). Isso significa que t nos ajuda a “andar” ao longo da reta.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar d s, que é o diferencial de arco. Para isso, calculamos a derivada da posição r(t) em relação a t:
r'(t) = (6, 7, 8)
O comprimento desse vetor derivada nos dá d s:
d s = |r'(t)| , dt = raiz6^2 + 7^2 + 8^2 , dt = raiz36 + 49 + 64 , dt = raiz149 , dt

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral original. Sabemos que x = 6t, então:
integralC x e^81 , d s = integral0^1 (6t) e^81 raiz149 , dt
Perceba que e^81 e raiz149 são constantes e podem ser retiradas da integral:
e^81 raiz149 integral0^1 6t , dt

Passo 5

Vamos agora calcular a integral restante:
integral0^1 6t , dt = 6 integral0^1 t , dt = 6 [ t^22 ]0^1 = 6 ( 12 - 0 ) = 3

Passo 6

Finalmente, multiplicamos os fatores que retiramos:
e^81 raiz149 times 3 = 3 raiz149 , e^81

Resposta

A integral de linha é igual a 3 raiz149 , e^81.

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