Uma partícula pesada é colocada sobre um hemisfério fixo ao solo. Determine as equações de movimento e a reação do hemisfério sobre a partícula por intermédio do método dos multiplicadores de Lagrange. Encontre a que altura o partícula desconecta do hemisfério.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma partícula pesada colocada sobre um hemisfério fixo no solo. Queremos:
- Determinar as equações de movimento da partícula.
- Encontrar a reação do hemisfério sobre a partícula usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
- Descobrir até que altura a partícula permanece em contato com o hemisfério antes de se desconectar.
Vamos precisar de conceitos de dinâmica usando Lagrange, forças normais e movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nosso sistema de coordenadas. Como a partícula está sobre um hemisfério, é conveniente usar coordenadas polares. Vamos definir o ângulo
como a posição da partícula em relação à vertical.
A energia cinética
e a energia potencial
da partícula são dadas por:
onde:
-
é a massa da partícula, -
é o raio do hemisfério, -
é a aceleração da gravidade, -
é a derivada de em relação ao tempo.
Passo 3
Agora, aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Introduzimos a restrição de que a partícula permanece na superfície do hemisfério:
onde
é constante.
A função de Lagrange é então:
Mas como
é constante, podemos simplificar e focar nas equações de movimento para
.
Passo 4
Escrevemos a equação de Euler-Lagrange para
:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
Passo 5
Agora, vamos determinar a reação do hemisfério sobre a partícula. A força normal
atua radialmente. Analisando as forças na direção radial:
Isso nos dá:
Passo 6
Para encontrar a altura em que a partícula se desconecta do hemisfério, a reação
deve ser zero. Então:
Usando a equação de movimento
, podemos relacionar
e
. Após algumas manipulações (integração da energia), encontramos que a desconexão ocorre quando:
Resposta
A partícula se desconecta do hemisfério quando está a uma altura correspondente a um ângulo
tal que
. Portanto, a altura é:
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