Uma partícula pesada é colocada sobre um hemisfério fixo ao solo. Determine as equações de movimento e a reação do hemisfério sobre a partícula por intermédio do método dos multiplicadores de Lagrange. Encontre a que altura o partícula desconecta do hemisfério.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma partícula pesada colocada sobre um hemisfério fixo no solo. Queremos:
  1. Determinar as equações de movimento da partícula.
  2. Encontrar a reação do hemisfério sobre a partícula usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
  3. Descobrir até que altura a partícula permanece em contato com o hemisfério antes de se desconectar.
Vamos precisar de conceitos de dinâmica usando Lagrange, forças normais e movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nosso sistema de coordenadas. Como a partícula está sobre um hemisfério, é conveniente usar coordenadas polares. Vamos definir o ângulo como a posição da partícula em relação à vertical.
A energia cinética e a energia potencial da partícula são dadas por:
onde:
  • é a massa da partícula,
  • é o raio do hemisfério,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a derivada de em relação ao tempo.

Passo 3

Agora, aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Introduzimos a restrição de que a partícula permanece na superfície do hemisfério:
onde é constante.
A função de Lagrange é então:
Mas como é constante, podemos simplificar e focar nas equações de movimento para .

Passo 4

Escrevemos a equação de Euler-Lagrange para :
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:

Passo 5

Agora, vamos determinar a reação do hemisfério sobre a partícula. A força normal atua radialmente. Analisando as forças na direção radial:
Isso nos dá:

Passo 6

Para encontrar a altura em que a partícula se desconecta do hemisfério, a reação deve ser zero. Então:
Usando a equação de movimento , podemos relacionar e . Após algumas manipulações (integração da energia), encontramos que a desconexão ocorre quando:

Resposta

A partícula se desconecta do hemisfério quando está a uma altura correspondente a um ângulo tal que . Portanto, a altura é:

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