Uma partícula pesada é colocada sobre um hemisfério fixo ao solo. Determine as equações de movimento e a reação do hemisfério sobre a partícula por intermédio do método dos multiplicadores de Lagrange. Encontre a que altura o partícula desconecta do hemisfério.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma partícula pesada colocada sobre um hemisfério fixo no solo. Queremos:
  1. Determinar as equações de movimento da partícula.
  2. Encontrar a reação do hemisfério sobre a partícula usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
  3. Descobrir até que altura a partícula permanece em contato com o hemisfério antes de se desconectar.
Vamos precisar de conceitos de dinâmica usando Lagrange, forças normais e movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nosso sistema de coordenadas. Como a partícula está sobre um hemisfério, é conveniente usar coordenadas polares. Vamos definir o ângulo theta como a posição da partícula em relação à vertical.
A energia cinética T e a energia potencial V da partícula são dadas por:
T = 12 m (R dottheta)^2
V = m g R costheta
onde:
  • m é a massa da partícula,
  • R é o raio do hemisfério,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • dottheta é a derivada de theta em relação ao tempo.

Passo 3

Agora, aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Introduzimos a restrição de que a partícula permanece na superfície do hemisfério:
f(theta, r) = r - R = 0
onde r = R é constante.
A função de Lagrange é então:
L = T - V + lambda (R - r)
Mas como r = R é constante, podemos simplificar e focar nas equações de movimento para theta.

Passo 4

Escrevemos a equação de Euler-Lagrange para theta:
ddt ( partial Lpartial dottheta ) - partial Lpartial theta = 0
Calculando as derivadas:
partial Lpartial dottheta = m R^2 dottheta
ddt ( m R^2 dottheta ) = m R^2 ddottheta
partial Lpartial theta = - m g R sintheta
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
m R^2 ddottheta + m g R sintheta = 0
ddottheta + gR sintheta = 0

Passo 5

Agora, vamos determinar a reação do hemisfério sobre a partícula. A força normal N atua radialmente. Analisando as forças na direção radial:
N - m g costheta = m R dottheta^2
Isso nos dá:
N = m g costheta + m R dottheta^2

Passo 6

Para encontrar a altura em que a partícula se desconecta do hemisfério, a reação N deve ser zero. Então:
0 = m g costheta + m R dottheta^2
g costheta = - R dottheta^2
Usando a equação de movimento ddottheta + gR sintheta = 0, podemos relacionar dottheta e theta. Após algumas manipulações (integração da energia), encontramos que a desconexão ocorre quando:
costheta = 23

Resposta

A partícula se desconecta do hemisfério quando está a uma altura correspondente a um ângulo theta tal que costheta = 23. Portanto, a altura é:
h = R costheta = 23 R

Exercícios relacionados