(2,4) Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
d) Se F(x, y)=(a-1) y i+b x j é conservativo então a=b+1.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). O enunciado fala sobre um campo vetorial e diz que se ele for conservativo, então . Vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e verificar se essa condição realmente faz o campo ser conservativo.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, é um campo onde existe uma função potencial partial Qpartial x = partial Ppartial y tal que . Isso significa que as componentes do campo vetorial são as derivadas parciais da função potencial. Uma condição importante para que um campo vetorial seja conservativo é que as derivadas cruzadas sejam iguais, ou seja:
Onde é a componente em e é a componente em .

Passo 3

Vamos identificar P(x, y) = (a - 1)y Q(x, y) = b x e partial Qpartial x = partialpartial x(b x) = b partial Ppartial y = partialpartial y((a - 1)y) = a - 1 no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Para que o campo seja conservativo, temos que:
partial Qpartial x = partial Ppartial y b = a - 1
Resolvendo essa equação para a = b + 1 :

Resposta

A afirmação é verdadeira (V), pois para o campo ser conservativo, é necessário que .

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