Um disco de raio
rola sem deslizar dentro de uma parábola estacionária de equação
. (a) Encontre as equações de vínculo. (b) Quais condições permitem que o disco role de forma a este tocar a parábola em um e somente um ponto independente de sua posição?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de raio
que rola sem deslizar dentro de uma parábola com a equação
. Vamos resolver duas partes:
(a) Encontrar as equações de vínculo, que são as relações que conectam as variáveis do movimento, garantindo que o disco role sem deslizar.
(b) Determinar as condições que fazem com que o disco sempre toque a parábola em apenas um ponto, não importa onde ele esteja.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cinemática e geometria, além de aplicar um pouco de matemática para derivar as equações necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a parte (a) da questão: encontrar as equações de vínculo.
Quando um objeto rola sem deslizar, a sua velocidade de translação está relacionada à sua velocidade de rotação. Para um disco, a velocidade linear
do centro de massa está ligada à velocidade angular
pela relação:
Isso significa que o disco está rolando sem deslizar porque essa relação é mantida.
Passo 3
Agora, vamos analisar a geometria do movimento. O disco está rolando dentro de uma parábola definida por
. Isso significa que a trajetória do centro do disco deve seguir uma curva que está sempre a uma distância
da borda da parábola.
Para garantir que o disco esteja sempre tocando a parábola em um ponto, precisamos relacionar a posição do centro do disco
com a equação da parábola.
Passo 4
A distância entre o centro do disco e a parábola deve ser igual ao raio
. Usando a geometria, podemos expressar isso matematicamente. A derivada da parábola
nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto
:
A inclinação da normal à parábola, que é a direção em que o centro do disco se move, é o negativo do inverso da derivada da tangente:
Passo 5
Com isso, podemos escrever as equações de vínculo que relacionam
e
com
, a posição do ponto de contato:
Essas equações garantem que o centro do disco esteja a uma distância
da parábola e que o disco role sem deslizar.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b): queremos que o disco toque a parábola em apenas um ponto independentemente de sua posição. Isso significa que não deve haver “interseções múltiplas” entre o disco e a parábola.
Para que isso aconteça, a curvatura da parábola deve estar de acordo com a curvatura do disco em todas as posições. A curvatura da parábola é dada por
.
A curvatura do disco é simplesmente
. Para que o disco toque a parábola em apenas um ponto, as curvaturas devem ser iguais:
Passo 7
Resolvendo a equação de curvatura para encontrar as condições necessárias:
Para que essa igualdade seja válida independentemente de
, a única possibilidade é que
, o que não faz sentido para uma parábola, ou então que
seja ajustado de forma que a igualdade seja satisfeita para todos os
, o que também não é possível a menos que a parábola seja uma circunferência, o que não é o caso.
Portanto, não existem condições reais que permitam que o disco role tocando a parábola em apenas um ponto, independente de sua posição, a menos que a parábola se torne uma circunferência, o que mudaria completamente a natureza do problema.
Resposta
(a) As equações de vínculo são:
(b) Não existem condições reais que permitam que o disco toque a parábola em apenas um ponto independente de sua posição.
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