Calcule a integral de linha , onde é o quadrado com vértices em e , percorrido no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é um quadrado com vértices em , , e , e que percorremos no sentido horário. Isso está relacionado a cálculo vetorial, especialmente integrais de linha em contornos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho . Ele é um quadrado com os pontos dados, e vamos percorrer esse quadrado no sentido horário. Isso significa que começamos em , vamos para , depois para , depois para e voltamos para .

Passo 3

Para calcular a integral de linha, vamos dividir o percurso em quatro partes, correspondentes aos quatro lados do quadrado. Em cada parte, vamos parametrizar o caminho e calcular a integral correspondente.

Passo 4

Primeiro lado: de a
Aqui, e varia de 0 a 1. Então, e .
A integral fica:

Passo 5

Segundo lado: de a
Agora, e varia de 0 a 1. Então, e .
A integral fica:

Passo 6

Terceiro lado: de a
Aqui, e varia de 1 a 0 (note que estamos indo de 1 para 0, pois é sentido horário). Então, e , já que está diminuindo.
A integral fica:

Passo 7

Quarto lado: de a
Aqui, e varia de 1 a 0. Então, e , já que está diminuindo.
A integral fica:

Passo 8

Agora, somamos todas as integrais dos quatro lados:

Resposta

A integral de linha sobre o quadrado percorrido no sentido horário é 0.

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c)
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d)