Calcule a integral de linha , onde é o quadrado com vértices em e , percorrido no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é um quadrado com vértices em , , e , e que percorremos no sentido horário. Isso está relacionado a cálculo vetorial, especialmente integrais de linha em contornos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho . Ele é um quadrado com os pontos dados, e vamos percorrer esse quadrado no sentido horário. Isso significa que começamos em , vamos para , depois para , depois para e voltamos para .
Passo 3
Para calcular a integral de linha, vamos dividir o percurso em quatro partes, correspondentes aos quatro lados do quadrado. Em cada parte, vamos parametrizar o caminho e calcular a integral correspondente.
Passo 4
Primeiro lado: de a
Aqui, e varia de 0 a 1. Então, e .
A integral fica:
Passo 5
Segundo lado: de a
Agora, e varia de 0 a 1. Então, e .
A integral fica:
Passo 6
Terceiro lado: de a
Aqui, e varia de 1 a 0 (note que estamos indo de 1 para 0, pois é sentido horário). Então, e , já que está diminuindo.
A integral fica:
Passo 7
Quarto lado: de a
Aqui, e varia de 1 a 0. Então, e , já que está diminuindo.
A integral fica:
Passo 8
Agora, somamos todas as integrais dos quatro lados:
Resposta
A integral de linha sobre o quadrado percorrido no sentido horário é 0.