Calcule a integral de linha integralC(x^2 d y-y^2 d x), onde C é o quadrado com vértices em (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1), percorrido no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC(x^2 d y - y^2 d x), onde C é um quadrado com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), e que percorremos no sentido horário. Isso está relacionado a cálculo vetorial, especialmente integrais de linha em contornos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho C. Ele é um quadrado com os pontos dados, e vamos percorrer esse quadrado no sentido horário. Isso significa que começamos em (0,0), vamos para (1,0), depois para (1,1), depois para (0,1) e voltamos para (0,0).

Passo 3

Para calcular a integral de linha, vamos dividir o percurso em quatro partes, correspondentes aos quatro lados do quadrado. Em cada parte, vamos parametrizar o caminho e calcular a integral correspondente.

Passo 4

Primeiro lado: de (0,0) a (1,0)
Aqui, y = 0 e x varia de 0 a 1. Então, dy = 0 e dx = dx.
A integral fica:
integral0^1 (x^2 cdot 0 - 0^2 cdot dx) = integral0^1 0 , dx = 0

Passo 5

Segundo lado: de (1,0) a (1,1)
Agora, x = 1 e y varia de 0 a 1. Então, dx = 0 e dy = dy.
A integral fica:
integral0^1 (1^2 cdot dy - y^2 cdot 0) = integral0^1 dy = y |0^1 = 1 - 0 = 1

Passo 6

Terceiro lado: de (1,1) a (0,1)
Aqui, y = 1 e x varia de 1 a 0 (note que estamos indo de 1 para 0, pois é sentido horário). Então, dy = 0 e dx = -dx, já que x está diminuindo.
A integral fica:
integral1^0 (x^2 cdot 0 - 1^2 cdot (-dx)) = integral1^0 dx = -integral0^1 dx = -1 + 0 = -1

Passo 7

Quarto lado: de (0,1) a (0,0)
Aqui, x = 0 e y varia de 1 a 0. Então, dx = 0 e dy = -dy, já que y está diminuindo.
A integral fica:
integral1^0 (0^2 cdot (-dy) - y^2 cdot 0) = integral1^0 0 , dy = 0

Passo 8

Agora, somamos todas as integrais dos quatro lados:
0 + 1 - 1 + 0 = 0

Resposta

A integral de linha integralC(x^2 d y - y^2 d x) sobre o quadrado C percorrido no sentido horário é 0.

Exercícios relacionados