Beleza, vamos resolver essa equação da onda que é assim:
a^2 partial^2 upartial x^2 = partial^2 upartial t^2, 0 < x < pi, t > 0
As condições que a gente tem são:
Nas pontas do intervalo, .
Na hora inicial, a posição da onda é .
E a velocidade inicial é zero, ou seja, .
Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e séries de Fourier para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem só de u(x, t) = X(x) T(t) e só de a^2 X''(x) T(t) = X(x) T''(t) :
X''(x)X(x) = T''(t)a^2 T(t) = -lambda
Substituindo na equação da onda, temos:
Dividindo ambos os lados por , ficamos com:
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 3
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
T''(t) + a^2 lambda T(t) = 0
Para :
Vamos resolver a primeira, que é uma equação característica de oscilação.
Passo 4
Considerando as condições de contorno Xn(x) = sin(n x) , temos que .
A solução para que satisfaz essas condições é:
Onde é um número inteiro positivo, e .
Passo 5
Agora, resolvemos a equação para T''(t) + a^2 n^2 T(t) = 0 com Tn(t) = An cos(a n t) + Bn sin(a n t) :
A solução geral dessa equação é:
Passo 6
Então, a solução geral para u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(a n t) + Bn sin(a n t) ] sin(n x) é a soma de todas as soluções individuais:
Passo 7
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar sumn=1^infty An sin(n x) = 16 x(pi^2 - x^2) e .
Primeiro, , então:
E como a velocidade inicial é zero, , o que implica que para todos os .
Passo 8
Precisamos expandir 16 x(pi^2 - x^2) = sumn=1^infty An sin(n x) em uma série de senos: