Resolva a equação da onda
sujeita às condições indicadas.
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação da onda que é assim:
As condições que a gente tem são:
  • Nas pontas do intervalo, .
  • Na hora inicial, a posição da onda é .
  • E a velocidade inicial é zero, ou seja, .
Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e séries de Fourier para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem só de e só de :
Substituindo na equação da onda, temos:
Dividindo ambos os lados por , ficamos com:
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 3

Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :
Vamos resolver a primeira, que é uma equação característica de oscilação.

Passo 4

Considerando as condições de contorno , temos que .
A solução para que satisfaz essas condições é:
Onde é um número inteiro positivo, e .

Passo 5

Agora, resolvemos a equação para com :
A solução geral dessa equação é:

Passo 6

Então, a solução geral para é a soma de todas as soluções individuais:

Passo 7

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, , então:
E como a velocidade inicial é zero, , o que implica que para todos os .

Passo 8

Precisamos expandir em uma série de senos:
Para encontrar os coeficientes , usamos a fórmula de Fourier:

Passo 9

Calculando a integral para :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais.

Passo 10

Finalmente, a solução completa fica:
Onde são os coeficientes obtidos na expansão em série de Fourier.

Resposta

A solução da equação da onda é dada por:

Exercícios relacionados

Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
c)
Calcule a integral de linha , onde é o quadrado com vértices em e , percorrido no sentido horário.
Calcule, justificando cada passagem: .
Mostre que
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