Resolva a equação da onda
a^2 partial^2 upartial x^2=partial^2 upartial t^2, 00
sujeita às condições indicadas.
d) lu(0, t)=u(pi, t)=0 u(x, 0)=16 x(pi^2-x^2),partial upartial t|t=0=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação da onda que é assim:
a^2 partial^2 upartial x^2 = partial^2 upartial t^2, 0 < x < pi, t > 0
As condições que a gente tem são:
  • Nas pontas do intervalo, .
  • Na hora inicial, a posição da onda é .
  • E a velocidade inicial é zero, ou seja, .
Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e séries de Fourier para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem só de u(x, t) = X(x) T(t) e só de a^2 X''(x) T(t) = X(x) T''(t) :
X''(x)X(x) = T''(t)a^2 T(t) = -lambda
Substituindo na equação da onda, temos:
Dividindo ambos os lados por , ficamos com:
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 3

Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
T''(t) + a^2 lambda T(t) = 0
  1. Para :
Vamos resolver a primeira, que é uma equação característica de oscilação.

Passo 4

Considerando as condições de contorno Xn(x) = sin(n x) , temos que .
A solução para que satisfaz essas condições é:
Onde é um número inteiro positivo, e .

Passo 5

Agora, resolvemos a equação para T''(t) + a^2 n^2 T(t) = 0 com Tn(t) = An cos(a n t) + Bn sin(a n t) :
A solução geral dessa equação é:

Passo 6

Então, a solução geral para u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(a n t) + Bn sin(a n t) ] sin(n x) é a soma de todas as soluções individuais:

Passo 7

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar sumn=1^infty An sin(n x) = 16 x(pi^2 - x^2) e .
Primeiro, , então:
E como a velocidade inicial é zero, , o que implica que para todos os .

Passo 8

Precisamos expandir 16 x(pi^2 - x^2) = sumn=1^infty An sin(n x) em uma série de senos:
An = 2pi integral0^pi 16 x(pi^2 - x^2) sin(n x) , dx
Para encontrar os coeficientes , usamos a fórmula de Fourier:

Passo 9

Calculando a integral para An = 13pi integral0^pi x(pi^2 - x^2) sin(n x) , dx :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais.

Passo 10

Finalmente, a solução completa fica:
u(x, t) = sumn=1^infty An cos(a n t) sin(n x)
Onde são os coeficientes obtidos na expansão em série de Fourier.

Resposta

A solução da equação da onda é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty ( 23pi integral0^pi x(pi^2 - x^2) sin(n x) , dx ) cos(a n t) sin(n x)

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