Resolva a equação da onda
sujeita às condições indicadas.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação da onda que é assim:
As condições que a gente tem são:
- Nas pontas do intervalo,
. - Na hora inicial, a posição da onda é
. - E a velocidade inicial é zero, ou seja,
.
Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e séries de Fourier para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem só de
e só de
:
Substituindo na equação da onda, temos:
Dividindo ambos os lados por
, ficamos com:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 3
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
- Para
:
- Para
:
Vamos resolver a primeira, que é uma equação característica de oscilação.
Passo 4
Considerando as condições de contorno
, temos que
.
A solução para
que satisfaz essas condições é:
Onde
é um número inteiro positivo, e
.
Passo 5
Agora, resolvemos a equação para
com
:
A solução geral dessa equação é:
Passo 6
Então, a solução geral para
é a soma de todas as soluções individuais:
Passo 7
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
, então:
E como a velocidade inicial é zero,
, o que implica que
para todos os
.
Passo 8
Precisamos expandir
em uma série de senos:
Para encontrar os coeficientes
, usamos a fórmula de Fourier:
Passo 9
Calculando a integral para
:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais.
Passo 10
Finalmente, a solução completa fica:
Onde
são os coeficientes obtidos na expansão em série de Fourier.
Resposta
A solução da equação da onda é dada por:
Exercícios relacionados
Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
c)
c)
Calcule a integral de linha
, onde
é o quadrado com vértices em
e
, percorrido no sentido horário.
Calcule, justificando cada passagem:
.
Mostre que
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