Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação de derivadas parciais:
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Parciais (EDPs), especificamente usando o método de separação de variáveis para encontrar soluções que sejam produtos de funções de
e
. Ou seja, estamos procurando soluções na forma:
Para resolver isso, vamos precisar derivar
em relação a
e
, substituir na equação original e separar as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma só de
e outra só de
:
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
necessárias para substituir na equação original.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
-
Primeira derivada em relação a
: -
Segunda derivada em relação a
: -
Derivada mista
e : -
Segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na equação original:
Vamos dividir todos os termos por
para facilitar a separação:
Mas essa expressão é um pouco complicada para separar as variáveis diretamente. Então, vamos reorganizar de outra forma.
Passo 5
Vamos reescrever a equação substituída:
Podemos dividir toda a equação por
para separar as termos:
Agora, vamos tentar reorganizar para isolar termos que dependem apenas de
e apenas de
.
Passo 6
Observando a equação:
Vemos que separar os termos é complicado devido ao termo misto
. Para facilitar, vamos supor que
seja constante, digamos
.
Então, temos:
Essa é uma equação diferencial simples para
.
Passo 7
Resolvendo
:
A solução geral dessa equação é:
onde
é uma constante.
Agora, voltamos à equação original:
Mas sabemos que
também pode ser expresso em termos de
.
Passo 8
Calculando
:
Primeira derivada de
:
Segunda derivada de
:
Portanto,
Agora, substituímos de volta na equação:
Multiplicando toda a equação por
:
Passo 9
Agora, temos uma equação diferencial ordinária para
:
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral depende das raízes da equação característica.
A equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Passo 10
As raízes são complexas:
Então, a solução geral para
é:
onde
e
são constantes.
Passo 11
Agora, combinamos as soluções de
e
:
Podemos simplificar a expressão:
Resposta
Uma solução da equação dada, na forma de produto, é:
onde
é uma constante arbitrária e
,
são constantes determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.