Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
c)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação de derivadas parciais:
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Parciais (EDPs), especificamente usando o método de separação de variáveis para encontrar soluções que sejam produtos de funções de e . Ou seja, estamos procurando soluções na forma:
Para resolver isso, vamos precisar derivar em relação a e , substituir na equação original e separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma só de e outra só de :
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de necessárias para substituir na equação original.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
  1. Primeira derivada em relação a :
  2. Segunda derivada em relação a :
  3. Derivada mista e :
  4. Segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na equação original:
Vamos dividir todos os termos por para facilitar a separação:
Mas essa expressão é um pouco complicada para separar as variáveis diretamente. Então, vamos reorganizar de outra forma.

Passo 5

Vamos reescrever a equação substituída:
Podemos dividir toda a equação por para separar as termos:
Agora, vamos tentar reorganizar para isolar termos que dependem apenas de e apenas de .

Passo 6

Observando a equação:
Vemos que separar os termos é complicado devido ao termo misto . Para facilitar, vamos supor que seja constante, digamos .
Então, temos:
Essa é uma equação diferencial simples para .

Passo 7

Resolvendo :
A solução geral dessa equação é:
onde é uma constante.
Agora, voltamos à equação original:
Mas sabemos que também pode ser expresso em termos de .

Passo 8

Calculando :
Primeira derivada de :
Segunda derivada de :
Portanto,
Agora, substituímos de volta na equação:
Multiplicando toda a equação por :

Passo 9

Agora, temos uma equação diferencial ordinária para :
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral depende das raízes da equação característica.
A equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática:

Passo 10

As raízes são complexas:
Então, a solução geral para é:
onde e são constantes.

Passo 11

Agora, combinamos as soluções de e :
Podemos simplificar a expressão:

Resposta

Uma solução da equação dada, na forma de produto, é:
onde é uma constante arbitrária e , são constantes determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

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d)
Calcule, justificando cada passagem: .