Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
c) partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial x partial y+partial^2 upartial y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação de derivadas parciais:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial x partial y + partial^2 upartial y^2 = 0
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Parciais (EDPs), especificamente usando o método de separação de variáveis para encontrar soluções que sejam produtos de funções de u(x, y) = X(x) cdot Y(y) e . Ou seja, estamos procurando soluções na forma:
Para resolver isso, vamos precisar derivar em relação a e , substituir na equação original e separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma só de u(x, y) = X(x) cdot Y(y) e outra só de :
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de necessárias para substituir na equação original.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = X'(x) cdot Y(y) :
  1. Primeira derivada em relação a partial^2 upartial x^2 = X''(x) cdot Y(y) :
    partial^2 upartial x partial y = X'(x) cdot Y'(y)
  2. Segunda derivada em relação a partial^2 upartial y^2 = X(x) cdot Y''(y) :
  3. Derivada mista e :
  4. Segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na equação original:
X''(x) cdot Y(y) + X'(x) cdot Y'(y) + X(x) cdot Y''(y) = 0
Vamos dividir todos os termos por X''(x)X(x) + X'(x)X(x) cdot Y'(y)Y(y) + Y''(y)Y(y) = 0 para facilitar a separação:
Mas essa expressão é um pouco complicada para separar as variáveis diretamente. Então, vamos reorganizar de outra forma.

Passo 5

Vamos reescrever a equação substituída:
X''(x) cdot Y(y) + X'(x) cdot Y'(y) + X(x) cdot Y''(y) = 0
Podemos dividir toda a equação por X''(x)X(x) + X'(x)X(x) cdot Y'(y)Y(y) + Y''(y)Y(y) = 0 para separar as termos:
Agora, vamos tentar reorganizar para isolar termos que dependem apenas de e apenas de .

Passo 6

Observando a equação:
X''(x)X(x) + X'(x)X(x) cdot Y'(y)Y(y) + Y''(y)Y(y) = 0
Vemos que separar os termos é complicado devido ao termo misto Y'(y)Y(y) = lambda Rightarrow Y'(y) = lambda Y(y) . Para facilitar, vamos supor que seja constante, digamos .
Então, temos:
Essa é uma equação diferencial simples para .

Passo 7

Resolvendo Y(y) = C e^lambda y :
A solução geral dessa equação é:
X''(x)X(x) + lambda X'(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
onde é uma constante.
Agora, voltamos à equação original:
Mas sabemos que também pode ser expresso em termos de .

Passo 8

Calculando Y'(y) = lambda C e^lambda y :
Primeira derivada de Y''(y) = lambda^2 C e^lambda y :
Y''(y)Y(y) = lambda^2 C e^lambda yC e^lambda y = lambda^2
Segunda derivada de X''(x)X(x) + lambda X'(x)X(x) + lambda^2 = 0 :
X''(x) + lambda X'(x) + lambda^2 X(x) = 0
Portanto,
Agora, substituímos de volta na equação:
Multiplicando toda a equação por :

Passo 9

Agora, temos uma equação diferencial ordinária para X''(x) + lambda X'(x) + lambda^2 X(x) = 0 :
r^2 + lambda r + lambda^2 = 0
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral depende das raízes da equação característica.
A equação característica é:
r = -lambda pm raizlambda^2 - 4 cdot 1 cdot lambda^22 = -lambda pm raiz-3lambda^22 = -lambda pm iraiz3lambda2
Resolvendo essa equação quadrática:

Passo 10

As raízes são complexas:
r = -lambda2 pm i raiz3lambda2
Então, a solução geral para X(x) = e^-lambda2x ( C1 cos(raiz3lambda2x) + C2 sin(raiz3lambda2x) ) é:
onde e são constantes.

Passo 11

Agora, combinamos as soluções de u(x, y) = X(x) cdot Y(y) = e^-lambda2x ( C1 cos(raiz3lambda2x) + C2 sin(raiz3lambda2x) ) cdot e^lambda y e u(x, y) = e^lambda y - lambda2x ( C1 cos(raiz3lambda2x) + C2 sin(raiz3lambda2x) ) :
Podemos simplificar a expressão:

Resposta

Uma solução da equação dada, na forma de produto, é:
u(x, y) = e^lambda y - lambda2x ( C1 cos(raiz3lambda2x) + C2 sin(raiz3lambda2x) )
onde é uma constante arbitrária e , são constantes determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

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