Encontre a integral de linha integralC(x d y-y d x), onde C é o círculo x^2+y^2=4 percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha , onde é o círculo percorrido no sentido anti-horário. Esse tipo de integral está ligado ao cálculo de integrais de linha em campos vetoriais. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo x = 2 cos t y = 2 sin t . Como é um círculo de raio 2, podemos usar coordenadas polares. A parametrização fica:
onde varia de a para percorrer todo o círculo uma vez no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos calcular dx = ddt(2 cos t) , dt = -2 sin t , dt dy = ddt(2 sin t) , dt = 2 cos t , dt e em termos de :

Passo 4

Substituímos integralC(x , dy - y , dx) = integral0^2pi (2 cos t cdot 2 cos t , dt - 2 sin t cdot (-2 sin t) , dt) , , e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da integral:
= integral0^2pi (4 cos^2 t + 4 sin^2 t) dt
Sabemos que = integral0^2pi 4 cdot 1 , dt = 4 integral0^2pi dt , então:

Passo 6

Calculamos a integral:
4 integral0^2pi dt = 4 [t]0^2pi = 4 (2pi - 0) = 8pi

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados