Encontre a integral de linha , onde é o círculo percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha , onde é o círculo percorrido no sentido anti-horário. Esse tipo de integral está ligado ao cálculo de integrais de linha em campos vetoriais. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo . Como é um círculo de raio 2, podemos usar coordenadas polares. A parametrização fica:
onde varia de a para percorrer todo o círculo uma vez no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos calcular e em termos de :

Passo 4

Substituímos , , e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da integral:
Sabemos que , então:

Passo 6

Calculamos a integral:

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha , onde é a elipse .
Resolva os seguintes problemas de valor de contorno usando a série de Fourier generalizada.
b)
Calcule a integral de linha , onde é o quadrado com vértices em e , percorrido no sentido horário.
Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
c)