Calcule a integral de linha , onde é a elipse .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha , onde é a elipse dada por . Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva . Para isso, precisamos identificar as funções envolvidas e aplicar o teorema corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada orientada positivamente e uma região limitada por :
No nosso caso, temos e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Agora, aplicando o Teorema de Green:

Passo 4

Então, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região :
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a elipse .

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforma a elipse em um círculo. Definimos:
Com isso, a equação da elipse vira , que é um círculo de raio 1. Precisamos também calcular o determinante jacobiano dessa transformação, que é:

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral dupla com as novas variáveis:

Passo 7

Para calcular essa integral, vamos usar coordenadas polares, onde e . O elemento de área em coordenadas polares é . Assim, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 9

Agora, integremos em relação a :
Sabemos que:

Passo 10

Substituindo esses valores:

Resposta

A integral de linha vale .

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