Calcule a integral de linha ointC(x^3 d y-y^3 d x), onde C é a elipse x^29+y^24=1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha , onde é a elipse dada por . Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva . Para isso, precisamos identificar as funções envolvidas e aplicar o teorema corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada ointC (M dx + N dy) = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dA orientada positivamente e uma região limitada por :
No nosso caso, temos e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Npartial x = partialpartial x(x^3) = 3x^2
partial Mpartial y = partialpartial y(-y^3) = -3y^2
Agora, aplicando o Teorema de Green:
partial Npartial x - partial Mpartial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)

Passo 4

Então, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região ointC (x^3 dy - y^3 dx) = 3 integral duplaD (x^2 + y^2) dA :
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a elipse .

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforma a elipse em um círculo. Definimos:
x = 3u e y = 2v
Com isso, a equação da elipse vira J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 3 & 0 0 & 2 = 3 times 2 = 6 , que é um círculo de raio 1. Precisamos também calcular o determinante jacobiano dessa transformação, que é:

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral dupla com as novas variáveis:
3 integral duplaD (x^2 + y^2) dA = 3 integral duplau^2+v^2 <= 1 ( (3u)^2 + (2v)^2 ) times 6 , du , dv
= 18 integral duplau^2+v^2 <= 1 (9u^2 + 4v^2) du dv

Passo 7

Para calcular essa integral, vamos usar coordenadas polares, onde 18 integral0^2pi integral0^1 (9r^2 cos^2theta + 4r^2 sin^2theta) r , dr , dtheta e = 18 integral0^2pi integral0^1 (9r^3 cos^2theta + 4r^3 sin^2theta) dr dtheta . O elemento de área em coordenadas polares é . Assim, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar em relação a integral0^1 9r^3 cos^2theta + 4r^3 sin^2theta , dr = 9 cos^2theta cdot r^44 |0^1 + 4 sin^2theta cdot r^44 |0^1 primeiro:
= 94 cos^2theta + 44 sin^2theta = 94 cos^2theta + sin^2theta

Passo 9

Agora, integremos em relação a 18 ( 94 integral0^2pi cos^2theta , dtheta + integral0^2pi sin^2theta , dtheta ) :
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi
Sabemos que:

Passo 10

Substituindo esses valores:
18 ( 94 pi + pi ) = 18 ( 134 pi ) = 2344 pi = 1172 pi

Resposta

A integral de linha vale .

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