Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha , onde é a elipse dada por . Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva . Para isso, precisamos identificar as funções envolvidas e aplicar o teorema corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada orientada positivamente e uma região limitada por :
No nosso caso, temos e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, aplicando o Teorema de Green:
Passo 4
Então, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região :
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a elipse .
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforma a elipse em um círculo. Definimos:
Com isso, a equação da elipse vira , que é um círculo de raio 1. Precisamos também calcular o determinante jacobiano dessa transformação, que é:
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral dupla com as novas variáveis:
3 integral duplaD (x^2 + y^2) dA = 3 integral duplau^2+v^2 <= 1 ( (3u)^2 + (2v)^2 ) times 6 , du , dv
= 18 integral duplau^2+v^2 <= 1 (9u^2 + 4v^2) du dv
Passo 7
Para calcular essa integral, vamos usar coordenadas polares, onde 18 integral0^2pi integral0^1 (9r^2 cos^2theta + 4r^2 sin^2theta) r , dr , dtheta e = 18 integral0^2pi integral0^1 (9r^3 cos^2theta + 4r^3 sin^2theta) dr dtheta . O elemento de área em coordenadas polares é . Assim, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar em relação a integral0^1 9r^3 cos^2theta + 4r^3 sin^2theta , dr = 9 cos^2theta cdot r^44 |0^1 + 4 sin^2theta cdot r^44 |0^1 primeiro: