Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com velocidade metros por segundo para . Encontre: (i) o deslocamento e (ii) a distância total percorrida no intervalo de tempo dado.
Passo 1
Vamos resolver um problema de movimento de uma partícula que se desloca ao longo de uma linha reta. A velocidade da partícula é dada pela função metros por segundo, e queremos encontrar duas coisas: (i) o deslocamento da partícula entre os instantes de tempo e , e (ii) a distância total percorrida nesse intervalo de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa deslocamento e distância total. O deslocamento é a diferença entre a posição final e a posição inicial da partícula. Para calcular isso, precisamos integrar a função de velocidade em relação ao tempo no intervalo dado.
Passo 3
A integral da velocidade nos dá a posição. Então, para encontrar o deslocamento, calculamos:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 4
Integrando cada termo:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a integral nos limites de 5 e 1:
Calculando cada parte:
Passo 6
Simplificando os termos:
E:
Então:
Passo 7
O deslocamento é metros, o que significa que a partícula se moveu 56/3 metros para trás em relação à posição inicial.
Passo 8
Agora, para encontrar a distância total percorrida, precisamos considerar os momentos em que a velocidade muda de sinal, ou seja, quando a partícula muda de direção. Vamos encontrar esses instantes resolvendo :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, e . Como está entre 1 e 5, o tempo relevante é .
Passo 9
Dividimos o intervalo em duas partes: de 1 a 4 e de 4 a 5. Calculamos a integral do valor absoluto da velocidade em cada intervalo:
Passo 10
Calculando cada integral:
Para :
Avaliação:
Tomando o valor absoluto: 13,5 metros.
Para :
Avaliação:
Tomando o valor absoluto: 12,17 metros.
Resposta
O deslocamento da partícula é metros e a distância total percorrida é aproximadamente 25,67 metros.