Calcule a integral de linha
em que a curva C é dada pela parábola
do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Precisamos calcular a integral de linha , onde a curva
é a parábola
, indo do ponto
ao ponto
.
Precisamos calcular a integral de linha
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar o conceito de integração em linha (ou integral de linha) no cálculo de integrais ao longo de uma curva no plano. Precisaremos também parametrizar a curva e calcular o elemento de comprimento diferencial .
Vamos utilizar o conceito de integração em linha (ou integral de linha) no cálculo de integrais ao longo de uma curva no plano. Precisaremos também parametrizar a curva e calcular o elemento de comprimento diferencial
Passo 2
Parametrização da Curva:
Como a curva é dada pela parábola
, podemos usar
como nosso parâmetro. Assim, definimos:
Como a curva
onde
varia de 0 a 1 (já que
vai de 0 a 1).
Passo 3
Cálculo do Elemento de Comprimento
:
O elemento de comprimento diferencial ao longo da curva é dado por:
O elemento de comprimento diferencial ao longo da curva é dado por:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 4
Substituindo na Integral de Linha:
A integral original se torna:
A integral original se torna:
Simplificando o termo dentro da raiz:
Portanto, a integral simplifica para:
Passo 5
Resolvendo a Integral:
Vamos usar a substituição . Então:
Vamos usar a substituição
Note que
. Substituindo na integral:
Agora, integramos:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A integral de linha é igual a
.