Calcule a integral de linha integralC(9 x-raizy+9) d s em que a curva C é dada pela parábola y=x^2-9 do ponto (0,-9) ao ponto (1,-8).

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Precisamos calcular a integral de linha , onde a curva é a parábola , indo do ponto ao ponto .
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar o conceito de integração em linha (ou integral de linha) no cálculo de integrais ao longo de uma curva no plano. Precisaremos também parametrizar a curva e calcular o elemento de comprimento diferencial .

Passo 2

Parametrização da Curva:
Como a curva x = t y = t^2 - 9 é dada pela parábola , podemos usar como nosso parâmetro. Assim, definimos:
onde varia de 0 a 1 (já que vai de 0 a 1).

Passo 3

Cálculo do Elemento de Comprimento ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt :
O elemento de comprimento diferencial ao longo da curva é dado por:
dxdt = 1 e dydt = 2t
Calculando as derivadas:
ds = raiz1^2 + (2t)^2 , dt = raiz1 + 4t^2 , dt
Então:

Passo 4

Substituindo na Integral de Linha:
A integral original se torna:
integral0^1 (9t - raiz(t^2 - 9) + 9) raiz1 + 4t^2 , dt
Simplificando o termo dentro da raiz:
raiz(t^2 - 9) + 9 = raizt^2 = t (como t >= 0)
Portanto, a integral simplifica para:
integral0^1 (9t - t) raiz1 + 4t^2 , dt = integral0^1 8t raiz1 + 4t^2 , dt

Passo 5

Resolvendo a Integral:
Vamos usar a substituição dudt = 8t Rightarrow dt = du8t . Então:
integralu(0)^u(1) raizu , du = integral1^5 u^1/2 , du
Note que integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C . Substituindo na integral:
23 (5^3/2 - 1^3/2) = 23 (5raiz5 - 1)
Agora, integramos:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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