Utilize o Teorema de Green para calcular integralC x y d x+(x+1) d y em que C é a fronterra da região delimitada pela parábola y=x^2 e pela reta y=-x+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. Basicamente, queremos calcular a integral de linha integralC x y , dx + (x + 1) , dy, onde C é o contorno da região delimitada pela parábola y = x^2 e pela reta y = -x + 2. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que aparecem na integral de linha. Podemos escrever a integral na forma integralC P , dx + Q , dy, onde:
  • P = x y
  • Q = x + 1

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Aqui, D é a região delimitada pelo contorno C.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(x + 1) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y(x y) = x

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - x
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD (1 - x) , dx , dy

Passo 6

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região D. Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola y = x^2 e a reta y = -x + 2:
x^2 = -x + 2 Rightarrow x^2 + x - 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32 Rightarrow x = 1 ou x = -2
Então, os pontos de interseção são x = -2 e x = 1.

Passo 7

Para cada x entre -2 e 1, y varia da parábola y = x^2 (parte de baixo) até a reta y = -x + 2 (parte de cima). Assim, os limites de integração são:
-2 <= x <= 1
x^2 <= y <= -x + 2

Passo 8

Vamos montar a integral dupla com esses limites:
integral duplaD (1 - x) , dx , dy = integral-2^1 integralx^2^-x + 2 (1 - x) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integralx^2^-x + 2 (1 - x) , dy = (1 - x)(-x + 2 - x^2)

Passo 9

Agora, expandimos a expressão:
(1 - x)(-x + 2 - x^2) = -x + 2 - x^2 + x^2 - 2x + x^3 = x^3 - 3x + 2
Então, a integral fica:
integral-2^1 (x^3 - 3x + 2) , dx

Passo 10

Vamos integrar termo a termo:
integral x^3 , dx = x^44, integral -3x , dx = -3x^22, integral 2 , dx = 2x
Então:
[ x^44 - 3x^22 + 2x ]-2^1
Calculando nos limites:
Para x = 1:
1^44 - 3(1)^22 + 2(1) = 14 - 32 + 2 = 14 - 64 + 84 = 34
Para x = -2:
(-2)^44 - 3(-2)^22 + 2(-2) = 164 - 122 - 4 = 4 - 6 - 4 = -6
Então:
34 - (-6) = 34 + 6 = 274

Resposta

O valor da integral é 274.

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