Utilize o Teorema de Green para calcular
em que C é a fronterra da região delimitada pela parábola
e pela reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. Basicamente, queremos calcular a integral de linha
, onde
é o contorno da região delimitada pela parábola
e pela reta
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que aparecem na integral de linha. Podemos escrever a integral na forma
, onde:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
Aqui,
é a região delimitada pelo contorno
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região
. Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola
e a reta
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 7
Para cada
entre
e
,
varia da parábola
(parte de baixo) até a reta
(parte de cima). Assim, os limites de integração são:
Passo 8
Vamos montar a integral dupla com esses limites:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, expandimos a expressão:
Então, a integral fica:
Passo 10
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
O valor da integral é
.