Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
integral triplaE z d V
em que E é o sólido limitado pelos planos x=0, y=x e pelos paraboloides z=8-x^2-y^2 e z=x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o sólido limitado pelos planos , e pelos paraboloides e . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas. Isso significa que vamos converter as equações dadas para coordenadas , e , que facilitam a integração em certos sólidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessa coordenada, qualquer ponto no espaço é representado por x = r cos theta, y = r sin theta, z = z , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a mesma coordenada do sistema cartesiano.
A relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 3

Agora, vamos converter as superfícies que limitam o sólido x = r cos theta = 0 Rightarrow cos theta = 0 Rightarrow theta = pi2, 3pi2 para coordenadas cilíndricas:
  1. Plano r sin theta = r cos theta Rightarrow tan theta = 1 Rightarrow theta = pi4 :
z = 8 - r^2
Como estamos trabalhando no primeiro quadrante (devido a z = r^2 ), consideramos .
  1. Plano :
  1. Paraboloide :
  1. Paraboloide :

Passo 4

Vamos determinar a região de integração. Observamos que 8 - r^2 = r^2 Rightarrow 8 = 2r^2 Rightarrow r^2 = 4 Rightarrow r = 2 está entre os planos e , já que e delimitam o ângulo .
Para , precisamos encontrar onde os paraboloides se interceptam:
Então, varia de 0 a 2.
Para , ele vai de até .

Passo 5

Agora, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaE z , dV = integraltheta=pi4^pi2 integralr=0^2 integralz=r^2^8 - r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral mais interna, em relação a integralz=r^2^8 - r^2 z cdot r , dz = r [ z^22 ]r^2^8 - r^2 = r ( (8 - r^2)^22 - (r^2)^22 ) :
= r ( 64 - 16 r^2 + r^42 - r^42 ) = r ( 64 - 16 r^22 ) = r (32 - 8 r^2) = 32 r - 8 r^3
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^2 (32 r - 8 r^3) , dr = [ 16 r^2 - 2 r^4 ]0^2 = ( 16 cdot 4 - 2 cdot 16 ) - 0 = (64 - 32) = 32 :

Passo 8

Por fim, integramos em relação a integralpi4^pi2 32 , dtheta = 32 ( pi2 - pi4 ) = 32 cdot pi4 = 8 pi :

Resposta

A integral tripla vale .

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