Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
em que
é o sólido limitado pelos planos
e pelos paraboloides
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde
é o sólido limitado pelos planos
,
e pelos paraboloides
e
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas. Isso significa que vamos converter as equações dadas para coordenadas
,
e
, que facilitam a integração em certos sólidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessa coordenada, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem no plano , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
é a mesma coordenada do sistema cartesiano.
A relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
Além disso, o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 3
Agora, vamos converter as superfícies que limitam o sólido
para coordenadas cilíndricas:
- Plano
:
Como estamos trabalhando no primeiro quadrante (devido a
), consideramos
.
- Plano
:
- Paraboloide
:
- Paraboloide
:
Passo 4
Vamos determinar a região de integração. Observamos que
está entre os planos
e
, já que
e
delimitam o ângulo
.
Para
, precisamos encontrar onde os paraboloides se interceptam:
Então,
varia de 0 a 2.
Para
, ele vai de
até
.
Passo 5
Agora, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Passo 6
Vamos resolver a integral mais interna, em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
A integral tripla
vale
.