(1,5) Considere o campo vetorial F(x, y, z)=5 z i+y j+2 x k. Calcule o fluxo phi=integral duplasigma F cdot n d S onde sigma é o retângulo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 3 no plano z=2 orientado para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície , que é um retângulo no plano , com e . Para isso, vamos usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície orientada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo phi = integral duplasigma F cdot n, dS é dado pela integral dupla:
Aqui, é o vetor normal à superfície . Como a superfície está no plano e está orientada para cima, o vetor normal é .

Passo 3

Vamos substituir o vetor normal phi = integral duplasigma F cdot k, dS na expressão do fluxo:
F cdot k = 5z cdot 0 + y cdot 0 + 2x cdot 1 = 2x
Agora, calculamos o produto escalar phi = integral duplasigma 2x, dS :
Então, a integral do fluxo fica:

Passo 4

Como a superfície phi = integral0^2 integral0^3 2x, dy, dx é um retângulo no plano , podemos parametrizar a área usando as variáveis e , com e . Portanto, a integral dupla se transforma em uma integral iterada:

Passo 5

Vamos primeiro integrar em relação a integral0^3 2x, dy = 2x cdot y |0^3 = 2x cdot 3 = 6x :
phi = integral0^2 6x, dx
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar agora em relação a integral0^2 6x, dx = 6 cdot x^22 |0^2 = 3x^2 |0^2 = 3(4) - 3(0) = 12 :

Resposta

O fluxo é igual a 12.

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