Considere o campo vetorial . Calcule o fluxo onde é o retângulo no plano orientado para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície , que é um retângulo no plano , com e . Para isso, vamos usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície orientada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o fluxo é dado pela integral dupla:
Aqui, é o vetor normal à superfície . Como a superfície está no plano e está orientada para cima, o vetor normal é .
Passo 3
Vamos substituir o vetor normal na expressão do fluxo:
Agora, calculamos o produto escalar :
Então, a integral do fluxo fica:
Passo 4
Como a superfície é um retângulo no plano , podemos parametrizar a área usando as variáveis e , com e . Portanto, a integral dupla se transforma em uma integral iterada:
Passo 5
Vamos primeiro integrar em relação a :
Agora, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar agora em relação a integral0^2 6x, dx = 6 cdot x^22 |0^2 = 3x^2 |0^2 = 3(4) - 3(0) = 12 :