em que e o campo vetorial . Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície S na direção do vetor , ou seja, .
Passo 1
Tudo bem! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma superfície definida pela equação vetorial
onde e variam dentro do domínio . Além disso, temos um campo vetorial .
A tarefa é calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície na direção do vetor . Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial e integração de superfícies em cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície em relação às variáveis e , que são e . Esses vetores são obtidos derivando em relação a e , respectivamente.
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular à superfície e cuja magnitude é igual à área do paralelogramo formado por e .
Usando a regra do determinante:
Passo 4
Em seguida, precisamos expressar o campo vetorial F(u, v) = u, i + v, j + (4 - u - v), k em termos das variáveis e . Dado que , e , substituímos esses valores na expressão de :
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar entre F cdot (ru times rv) = (u, i + v, j + (4 - u - v), k) cdot (i - j + k) e = u cdot 1 + v cdot (-1) + (4 - u - v) cdot 1 = u - v + 4 - u - v = 4 - 2v :
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão sobre o domínio integral duplaS F cdot dS = integral duplaD (4 - 2v), du, dv . A integral dupla para o fluxo será:
integral0^4 integral0^4 - u (4 - 2v), dv, du
Primeiro, definimos os limites de integração. Como e , integramos primeiro em de 0 a , e depois em de 0 a 4.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^4 - u (4 - 2v), dv = [4v - v^2]0^4 - u = 4(4 - u) - (4 - u)^2