Seja S a superfície dada pela equação vetorial
r(u, v)=u i+v j+(4-u-v) k
em que D=(u, v) in R^2: 0 <= u <= 4 ; 0 <= v <= 4-u e o campo vetorial
F(x, y, z)=x i+y j+z k. Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície S na direção do vetor ru times rv, ou seja, integral duplaS F d S.

Passo 1

Tudo bem! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma superfície r(u, v) = u, i + v, j + (4 - u - v), k definida pela equação vetorial
onde e variam dentro do domínio . Além disso, temos um campo vetorial .
A tarefa é calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície na direção do vetor . Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial e integração de superfícies em cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície ru = partial rpartial u = i - k em relação às variáveis rv = partial rpartial v = j - k e , que são e . Esses vetores são obtidos derivando em relação a e , respectivamente.
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial ru times rv = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 = (0 - (-1)), i - (1 - 0), j + (1 - 0), k = i - j + k . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular à superfície e cuja magnitude é igual à área do paralelogramo formado por e .
Usando a regra do determinante:

Passo 4

Em seguida, precisamos expressar o campo vetorial F(u, v) = u, i + v, j + (4 - u - v), k em termos das variáveis e . Dado que , e , substituímos esses valores na expressão de :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar entre F cdot (ru times rv) = (u, i + v, j + (4 - u - v), k) cdot (i - j + k) e = u cdot 1 + v cdot (-1) + (4 - u - v) cdot 1 = u - v + 4 - u - v = 4 - 2v :

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão sobre o domínio integral duplaS F cdot dS = integral duplaD (4 - 2v), du, dv . A integral dupla para o fluxo será:
integral0^4 integral0^4 - u (4 - 2v), dv, du
Primeiro, definimos os limites de integração. Como e , integramos primeiro em de 0 a , e depois em de 0 a 4.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^4 - u (4 - 2v), dv = [4v - v^2]0^4 - u = 4(4 - u) - (4 - u)^2
= 16 - 4u - (16 - 8u + u^2) = 16 - 4u - 16 + 8u - u^2 = 4u - u^2
Agora, integramos em integral0^4 (4u - u^2), du = [2u^2 - u^33]0^4 = 2(16) - 643 = 32 - 643 = 96 - 643 = 323 :

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

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