(4,0 pontos) Use a série de Maclaurin da Tabela para obter a série de Maclaurin da função e encontre o raio de convergência da série:
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Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função e descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a série de Maclaurin da função cosseno, que já está na tabela de séries que a gente conhece.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin do cosseno. A série de Maclaurin para é dada por:
Aqui, estamos expandindo o cosseno em uma série infinita onde cada termo depende de .
Passo 3
Agora, como a nossa função é , vamos substituir por na série de Maclaurin do cosseno:
Simplificando o termo dentro da série:
Passo 4
A função que queremos é . Então, vamos multiplicar cada termo da série de por :
Então, a série de Maclaurin para é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o teste da razão, que nos ajuda a encontrar até onde a série converge.
Considerando o termo geral da série:
Aplicamos o limite da razão entre termos consecutivos:
Calculando:
Como , a série converge para todo valor de . Portanto, o raio de convergência é infinito.