Primeiro, calcule as derivadas parciais e, em seguida, determine o conjunto de pontos de continuidade.
(a) f(x, y) = 3 x^7 y - 5 x y + 6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular as derivadas parciais da função e depois determinar onde essa função é contínua. Vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e entender o que significa continuidade em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Derivadas parciais medem como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
Derivando termo a termo:
  • Para , tratamos como constante. A derivada de é , então temos .
  • Para , a derivada em relação a é .
  • A derivada de uma constante, como , é zero.
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a .
Derivando termo a termo:
  • Para , tratamos como constante. A derivada de é , então temos .
  • Para , a derivada em relação a é .
  • A derivada de uma constante, como , é zero.
Então,

Passo 4

Agora vamos determinar onde a função é contínua. Continuidades em funções de várias variáveis são semelhantes às de uma variável: a função é contínua se não houver “saltos” ou “rupturas” em seu domínio.
Nossa função é um polinômio em e . Polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, que nesse caso são todos os números reais para e .

Resposta

As derivadas parciais são e . A função é contínua para todos os valores de e reais.

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Primeiro, calcule as derivadas parciais e, em seguida, determine o conjunto de pontos de continuidade.
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