Primeiro, calcule as derivadas parciais e, em seguida, determine o conjunto de pontos de continuidade.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular as derivadas parciais da função
e depois determinar onde essa função é contínua. Vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e entender o que significa continuidade em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Derivadas parciais medem como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
Derivando termo a termo:
- Para
, tratamos como constante. A derivada de é , então temos . - Para
, a derivada em relação a é . - A derivada de uma constante, como
, é zero.
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
.
Derivando termo a termo:
- Para
, tratamos como constante. A derivada de é , então temos . - Para
, a derivada em relação a é . - A derivada de uma constante, como
, é zero.
Então,
Passo 4
Agora vamos determinar onde a função
é contínua. Continuidades em funções de várias variáveis são semelhantes às de uma variável: a função é contínua se não houver “saltos” ou “rupturas” em seu domínio.
Nossa função
é um polinômio em
e
. Polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, que nesse caso são todos os números reais para
e
.
Resposta
As derivadas parciais são
e
. A função
é contínua para todos os valores de
e
reais.
Exercícios relacionados
Seja
b) Calcule , onde
.
b) Calcule
Seja
a) Considere a reta , com
; mostre que, quaisquer que sejam
e
,
a) Considere a reta
Primeiro, calcule as derivadas parciais e, em seguida, determine o conjunto de pontos de continuidade.
©
©
Calcule a integral de linha
, onde
é o triângulo com vértices
e
. Assuma que
é orientada no sentido anti-horário.