Hallar una función una constante c que verifique

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma função e uma constante que satisfaçam a equação para todo real. O conteúdo aqui envolve cálculo integral e diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar entender como derivar e integrar funções para achar e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que liga a derivada de uma integral com a função dentro da integral. Mais precisamente, se temos , então .

Passo 3

Aplicando esse teorema ao nosso problema, sabemos que:
Mas, segundo a equação dada:
Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Vamos calcular a derivada do lado direito:
Portanto, encontramos .

Passo 5

Agora, precisamos determinar a constante . Para isso, vamos considerar o valor da integral quando :
Mas também sabemos que:
Então:

Passo 6

Resolvendo , sabemos que pode ser:
Para simplificar, podemos escolher .

Resposta

A função é e a constante é .

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Hallar una primitiva de cada una de las siguientes funciones:
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
e) Se então .
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
f) Se então
Calcule a integral de linha , onde é o segmento de reta de a
.