Hallar una función f y una constante c que verifique integralc^x f(t) d t=cos x-12 forall x in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma função e uma constante que satisfaçam a equação para todo real. O conteúdo aqui envolve cálculo integral e diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar entender como derivar e integrar funções para achar e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que liga a derivada de uma integral com a função dentro da integral. Mais precisamente, se temos , então .

Passo 3

Aplicando esse teorema ao nosso problema, sabemos que:
ddx ( integralc^x f(t) , dt ) = f(x)
Mas, segundo a equação dada:
integralc^x f(t) , dt = cos x - 12
Então, derivando ambos os lados em relação a f(x) = ddx ( cos x - 12 ) :

Passo 4

Vamos calcular a derivada do lado direito:
ddx ( cos x - 12 ) = -sin x - 0 = -sin x
Portanto, encontramos .

Passo 5

Agora, precisamos determinar a constante integralc^c f(t) , dt = 0 . Para isso, vamos considerar o valor da integral quando cos c - 12 = 0 :
cos c = 12
Mas também sabemos que:
Então:

Passo 6

Resolvendo c = pi3 + 2pi k ou c = 5pi3 + 2pi k para algum inteiro k , sabemos que pode ser:
Para simplificar, podemos escolher .

Resposta

A função é e a constante é .

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