Hallar una función
una constante c que verifique
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma função
e uma constante
que satisfaçam a equação
para todo
real. O conteúdo aqui envolve cálculo integral e diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar entender como derivar e integrar funções para achar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que liga a derivada de uma integral com a função dentro da integral. Mais precisamente, se temos
, então
.
Passo 3
Aplicando esse teorema ao nosso problema, sabemos que:
Mas, segundo a equação dada:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular a derivada do lado direito:
Portanto, encontramos
.
Passo 5
Agora, precisamos determinar a constante
. Para isso, vamos considerar o valor da integral quando
:
Mas também sabemos que:
Então:
Passo 6
Resolvendo
, sabemos que
pode ser:
Para simplificar, podemos escolher
.
Resposta
A função é
e a constante é
.
Exercícios relacionados
Hallar una primitiva de cada una de las siguientes funciones:
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
e) Se então
.
e) Se
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
f) Se então
f) Se
Calcule a integral de linha
, onde
é o segmento de reta de
a
.