(2,5) Calcule a integral de linha integralC x e^y z d s, onde C é o segmento de reta de (0,0,0) a (6,7,8).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integral de linha. A gente precisa calcular a integral integralC x e^y z d s, onde C é o segmento de reta que vai do ponto (0,0,0) até (6,7,8). Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais de linha, que basicamente nos ajuda a somar valores ao longo de um caminho no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o caminho C. Isso significa que vamos descrever cada ponto ao longo de C usando uma única variável, geralmente t, que varia de 0 a 1. Como C é uma reta de (0,0,0) a (6,7,8), podemos escrever:
r(t) = (0,0,0) + t(6,7,8) = (6t, 7t, 8t)
Aqui, t varia de 0 a 1. Então, as coordenadas são:
x(t) = 6t
y(t) = 7t
z(t) = 8t

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão para d s, que é o diferencial de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos a derivada da posição em relação a t:
r'(t) = ddt(6t, 7t, 8t) = (6, 7, 8)
A magnitude dessa derivada é:
|r'(t)| = raiz6^2 + 7^2 + 8^2 = raiz36 + 49 + 64 = raiz149
Então,
d s = |r'(t)| dt = raiz149 , dt

Passo 4

Agora, substituímos as expressões de x(t), y(t) e z(t) na função que estamos integrando:
x e^y z = 6t cdot e^(7t)(8t) = 6t cdot e^56t^2

Passo 5

Agora, expressamos a integral original em termos da variável t:
integralC x e^y z d s = integral0^1 6t cdot e^56t^2 cdot raiz149 , dt = 6 raiz149 integral0^1 t e^56t^2 dt

Passo 6

Para resolver a integral integral t e^56t^2 dt, fazemos uma substituição simples. Seja u = 56t^2, então:
du = 112t , dt Rightarrow du112 = t , dt
Então, a integral fica:
integral t e^56t^2 dt = 1112 integral e^u du = 1112 e^u + C = 1112 e^56t^2 + C
Como estamos avaliando de 0 a 1, a constante C cancela.

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
6 raiz149 integral0^1 t e^56t^2 dt = 6 raiz149 [ 1112 e^56t^2 ]0^1 = 6 raiz149 ( e^56 - 1112 )
Simplificando os coeficientes:
6 times 1112 = 6112 = 356
Então, a integral fica:
356 raiz149 (e^56 - 1)

Resposta

A integral de linha é igual a dfrac356 raiz149 ( e^56 - 1 ).

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