Calcule a integral de linha , onde é o segmento de reta de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integral de linha. A gente precisa calcular a integral , onde é o segmento de reta que vai do ponto até . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais de linha, que basicamente nos ajuda a somar valores ao longo de um caminho no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o caminho . Isso significa que vamos descrever cada ponto ao longo de usando uma única variável, geralmente , que varia de 0 a 1. Como é uma reta de a , podemos escrever:
Aqui, varia de 0 a 1. Então, as coordenadas são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão para , que é o diferencial de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos a derivada da posição em relação a :
A magnitude dessa derivada é:
Então,

Passo 4

Agora, substituímos as expressões de , e na função que estamos integrando:

Passo 5

Agora, expressamos a integral original em termos da variável :

Passo 6

Para resolver a integral , fazemos uma substituição simples. Seja , então:
Então, a integral fica:
Como estamos avaliando de 0 a 1, a constante cancela.

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
Simplificando os coeficientes:
Então, a integral fica:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Classifique em verdadeiro (V) ou falso ( F ). Justifique sua resposta.
e) Se então .
Encontre trabalho realizado pelo campo de forga
em uma partícula que se move sobre o arco do círculo de a no sentido anti-horário.
Classifique em verdadeiro (V) ou falso ( F ). Justifique sua resposta.
f) Se então

a) Calcule onde é o segmento de reta de a .