Calcule a integral de linha
, onde
é o segmento de reta de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integral de linha. A gente precisa calcular a integral
, onde
é o segmento de reta que vai do ponto
até
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais de linha, que basicamente nos ajuda a somar valores ao longo de um caminho no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar o caminho
. Isso significa que vamos descrever cada ponto ao longo de
usando uma única variável, geralmente
, que varia de 0 a 1. Como
é uma reta de
a
, podemos escrever:
Aqui,
varia de 0 a 1. Então, as coordenadas são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a expressão para
, que é o diferencial de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos a derivada da posição em relação a
:
A magnitude dessa derivada é:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos as expressões de
,
e
na função que estamos integrando:
Passo 5
Agora, expressamos a integral original em termos da variável
:
Passo 6
Para resolver a integral
, fazemos uma substituição simples. Seja
, então:
Então, a integral fica:
Como estamos avaliando de 0 a 1, a constante
cancela.
Passo 7
Voltando à nossa expressão original:
Simplificando os coeficientes:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
e) Se
em uma partícula que se move sobre o arco do círculo
de
a
no sentido anti-horário.
f) Se
a) Calcule