(2,5) Encontre o trabalho realizado pelo campo de forga
F(x, y)=1x^2+y^2 i+6x^2+y^2 j
em uma partícula que se move sobre o arco do círculo x^2+y^2=36 de (6,0) a (0,6) no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o trabalho realizado por um campo de força dado pela função vetorial . A partícula se move ao longo de um arco de círculo definido por , indo de até no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha para calcular o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho em termos de campos de força. O trabalho W = integralC F cdot dr realizado por um campo de força ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui, é o campo de força e é um pequeno deslocamento ao longo do caminho.

Passo 3

Nosso próximo passo é parametrizar o caminho x = 6 cos theta , que é o arco do círculo y = 6 sin theta de a no sentido anti-horário. Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
Onde varia de a (90 graus) para ir de a .

Passo 4

Agora, vamos expressar o vetor dx = -6 sin theta , dtheta em termos de dy = 6 cos theta , dtheta . Derivando dr = dx , i + dy , j = (-6 sin theta , i + 6 cos theta , j) , dtheta e em relação a :
Então,

Passo 5

Vamos substituir F(x, y) = 1x^2+y^2 i + 6x^2+y^2 j e F = 136 i + 636 j = 136 i + 16 j na expressão do campo de força :
Como ao longo do caminho, isso simplifica para:

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr = (136 i + 16 j) cdot (-6 sin theta , i + 6 cos theta , j) :
= 136 times (-6 sin theta) + 16 times (6 cos theta)
= -6 sin theta36 + 6 cos theta6
= -sin theta6 + cos theta

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de W = integral0^pi2 (-sin theta6 + cos theta) dtheta a integral0^pi2 -sin theta6 , dtheta = -16 [-cos theta]0^pi2 = -16 (-cos pi2 + cos 0) = -16 (0 + 1) = -16 :
integral0^pi2 cos theta , dtheta = [sin theta]0^pi2 = sin pi2 - sin 0 = 1 - 0 = 1
Vamos integrar termo a termo:

Resposta

Somando as integrais, o trabalho realizado é:
W = -16 + 1 = 56
Portanto, o trabalho realizado pelo campo de força é unidades de trabalho.

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