Encontre
trabalho realizado pelo campo de forga
em uma partícula que se move sobre o arco do círculo
de
a
no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o trabalho realizado por um campo de força dado pela função vetorial
. A partícula se move ao longo de um arco de círculo definido por
, indo de
até
no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha para calcular o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho em termos de campos de força. O trabalho
realizado por um campo de força
ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Aqui,
é o campo de força e
é um pequeno deslocamento ao longo do caminho.
Passo 3
Nosso próximo passo é parametrizar o caminho
, que é o arco do círculo
de
a
no sentido anti-horário. Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
Onde
varia de
a
(90 graus) para ir de
a
.
Passo 4
Agora, vamos expressar o vetor
em termos de
. Derivando
e
em relação a
:
Então,
Passo 5
Vamos substituir
e
na expressão do campo de força
:
Como
ao longo do caminho, isso simplifica para:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Vamos integrar termo a termo:
Resposta
Somando as integrais, o trabalho realizado é:
Portanto, o trabalho realizado pelo campo de força é
unidades de trabalho.
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d) Se
b) ( ) Se
e) Se