Encontre trabalho realizado pelo campo de forga
em uma partícula que se move sobre o arco do círculo de a no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o trabalho realizado por um campo de força dado pela função vetorial . A partícula se move ao longo de um arco de círculo definido por , indo de até no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha para calcular o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho em termos de campos de força. O trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui, é o campo de força e é um pequeno deslocamento ao longo do caminho.

Passo 3

Nosso próximo passo é parametrizar o caminho , que é o arco do círculo de a no sentido anti-horário. Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
Onde varia de a (90 graus) para ir de a .

Passo 4

Agora, vamos expressar o vetor em termos de . Derivando e em relação a :
Então,

Passo 5

Vamos substituir e na expressão do campo de força :
Como ao longo do caminho, isso simplifica para:

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de a :
Vamos integrar termo a termo:

Resposta

Somando as integrais, o trabalho realizado é:
Portanto, o trabalho realizado pelo campo de força é unidades de trabalho.

Exercícios relacionados

Classifique em verdadeiro (V) ou falso ( F ). Justifique sua resposta.
d) Se é conservativo então .
Classifique em verdadeiro (V) ou falso ( F ). Justifique sua resposta.
b) ( ) Se é campo vetorial então também será.
Classifique em verdadeiro (V) ou falso ( F ). Justifique sua resposta.
e) Se então .
Calcule a integral de linha , onde é o segmento de reta de a .