(2,6)
a) Calcule integralC(6 x+5 y+3) d x+(7 x+4 y+5) d y onde C é o segmento de reta de (-1,0) a (2,-2).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de caminhos e a integração ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho x(t) = x0 + (x1 - x0) t = -1 + (2 - (-1)) t = -1 + 3t . Como y(t) = y0 + (y1 - y0) t = 0 + (-2 - 0) t = -2t é uma reta reta entre dois pontos, podemos usar um parâmetro x(t) = -1 + 3t que varia de 0 a 1 para representar qualquer ponto ao longo dessa reta.
As equações paramétricas são:
y(t) = -2t
Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de dx = dxdt , dt = 3 , dt e dy = dydt , dt = -2 , dt em relação a , que são e :

Passo 4

Substituindo integralC (6x + 5y + 3) , dx + (7x + 4y + 5) , dy = integral0^1 [6(-1 + 3t) + 5(-2t) + 3] cdot 3 , dt + [7(-1 + 3t) + 4(-2t) + 5] cdot (-2) , dt , 6(-1 + 3t) + 5(-2t) + 3 = -6 + 18t - 10t + 3 = -3 + 8t , 7(-1 + 3t) + 4(-2t) + 5 = -7 + 21t - 8t + 5 = -2 + 13t e integral0^1 (-3 + 8t) cdot 3 , dt + (-2 + 13t) cdot (-2) , dt = integral0^1 (-9 + 24t) + (4 - 26t) , dt = integral0^1 (-5 - 2t) , dt na integral original:
Vamos simplificar cada parte:
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a integral0^1 (-5 - 2t) , dt = [ -5t - t^2 ]0^1 = (-5 cdot 1 - 1^2) - (0) = -5 - 1 = -6 :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados