a) Calcule onde é o segmento de reta de a .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de caminhos e a integração ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho . Como é uma reta reta entre dois pontos, podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1 para representar qualquer ponto ao longo dessa reta.
As equações paramétricas são:
Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a , que são e :

Passo 4

Substituindo , , e na integral original:
Vamos simplificar cada parte:
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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f) Se então
Calcule a integral de linha , onde é o segmento de reta de a .
Uma corda uniforme de massa e comprimento L está pendurada no teto. (a) Mostre que a veocidade de uma onda transversal na corda é função de , a distância da extremidade inferior, e é dada por . (b) Mostre que o tepo que uma onda transversal leva para atravessar a corda é dado por .
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