(2,4) Classifique em verdadeiro (V) ou falso ( F ). Justifique sua resposta.
f) Se F(x, y, z)=7 y^6 z^5 i-8 x^5 z^8 j-3 x y^7 k então
rot F=(-21 x y^6+64 x^5 z^7) i+(3 y^7+35 y^6 z^4) j-(40 x^4 z^8+42 y^5 z^5) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a expressão do rotacional do campo vetorial F(x, y, z)=7 y^6 z^5 i-8 x^5 z^8 j-3 x y^7 k está correta. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional (ou curl) de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos calcular o rotacional de F passo a passo e comparar com a expressão dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k. A fórmula do rotacional é:
rot F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k

Passo 3

Vamos identificar as componentes de F:
Fx = 7 y^6 z^5, Fy = -8 x^5 z^8, Fz = -3 x y^7
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária.

Passo 4

Calculando a componente i do rotacional:
partial Fzpartial y = partial (-3 x y^7)partial y = -21 x y^6
partial Fypartial z = partial (-8 x^5 z^8)partial z = -64 x^5 z^7
Então,
Componente i: -21 x y^6 - (-64 x^5 z^7) = -21 x y^6 + 64 x^5 z^7

Passo 5

Calculando a componente j do rotacional:
partial Fxpartial z = partial (7 y^6 z^5)partial z = 35 y^6 z^4
partial Fzpartial x = partial (-3 x y^7)partial x = -3 y^7
Então,
Componente j: 35 y^6 z^4 - (-3 y^7) = 35 y^6 z^4 + 3 y^7

Passo 6

Calculando a componente k do rotacional:
partial Fypartial x = partial (-8 x^5 z^8)partial x = -40 x^4 z^8
partial Fxpartial y = partial (7 y^6 z^5)partial y = 42 y^5 z^5
Então,
Componente k: -40 x^4 z^8 - 42 y^5 z^5

Resposta

Verdadeiro (V). A expressão do rotacional de F fornecida está correta, já que todos os componentes calculados correspondem exatamente aos apresentados no enunciado.

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