(2,4) Classifique em verdadeiro (V) ou falso ( F ). Justifique sua resposta.
e) Se F(x, y, z)=7 y^6 z^5 i-8 x^5 z^8 j-3 x y^7 k então div F=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a divergência do campo vetorial F(x, y, z) = 7 y^6 z^5 i - 8 x^5 z^8 j - 3 x y^7 k é igual a zero. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre o cálculo da divergência de um campo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que é divergência e como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial F = P i + Q j + R k é dada por:
div F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Isso significa que a gente precisa calcular as derivadas parciais de cada componente do vetor em relação à sua respectiva variável e somar tudo.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial F:
  • P = 7 y^6 z^5
  • Q = -8 x^5 z^8
  • R = -3 x y^7
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial de P em relação a x:
partial Ppartial x = partialpartial x (7 y^6 z^5)
Aqui, P não depende de x, então a derivada será zero.
  1. Derivada parcial de Q em relação a y:
partial Qpartial y = partialpartial y (-8 x^5 z^8)
Similarmente, Q não depende de y, então essa derivada também será zero.
  1. Derivada parcial de R em relação a z:
partial Rpartial z = partialpartial z (-3 x y^7)
Aqui, R não depende de z, então essa derivada será zero também.

Passo 4

Agora, somando todas as derivadas parciais:
div F = 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

Verdadeiro (V). A divergência do campo vetorial F é igual a zero.

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