Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=x^2 i+x y j+z^2 k C: r(t)=sen(t) i+cos (t) j+t^2 k, 0 <= t <= pi2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha . A função vetorial que temos é e a curva é dada por com variando de até . Vamos usar o conceito de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da parametrização da curva r,'(t) = ddt [sin(t) i + cos(t) j + t^2 k] = cos(t) i - sin(t) j + 2t k em relação a , que é . Isso nos dá a velocidade ao longo da curva.

Passo 3

Agora, vamos substituir as componentes de F(r(t)) = [sin^2(t)] i + [sin(t) cos(t)] j + [t^4] k na função para obter .

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot r,'(t) = sin^2(t) cos(t) + sin(t) cos(t) (-sin(t)) + t^4 cdot 2t .
= sin^2(t) cos(t) - sin^2(t) cos(t) + 2t^5
= 2t^5

Passo 5

Agora, vamos integrar esse resultado de integral0^pi2 2t^5 dt = 2 cdot [ t^66 ]0^pi2 = 26 ( (pi2)^6 - 0 ) = 13 (pi2)^6 até = pi^63 cdot 64 = pi^6192 :

Resposta

integralC F cdot d r = pi^6192

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