Verifique se o campo vetorial
é um campo conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver, vamos precisar saber o que é um campo conservativo e como verificar se um campo vetorial é conservativo usando o teorema do rotacional (curl).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função escalar
tal que
. Isso significa que o campo pode ser derivado a partir de uma função potencial. Uma propriedade importante de campos conservativos é que seu rotacional é zero, ou seja,
.
Passo 3
Então, para verificar se
é conservativo, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos identificar
,
e
no nosso campo
:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 5
Após calcular todas as componentes do rotacional, vemos que cada uma delas é igual a zero. Ou seja:
Resposta
Como o rotacional de
é zero, o campo vetorial
é conservativo.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
, onde
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Calcule
, onde
.
Calcule
, sendo
e
, sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.