Verifique se o campo vetorial F(x, y, z) = 2xy^3z^4 i + 3x^2y^2z^4 j + 4x^2y^3z^3 k é um campo conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o campo vetorial é conservativo. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver, vamos precisar saber o que é um campo conservativo e como verificar se um campo vetorial é conservativo usando o teorema do rotacional (curl).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que . Isso significa que o campo pode ser derivado a partir de uma função potencial. Uma propriedade importante de campos conservativos é que seu rotacional é zero, ou seja, .

Passo 3

Então, para verificar se é conservativo, vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos identificar , e no nosso campo :

Passo 4

Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Passo 5

Após calcular todas as componentes do rotacional, vemos que cada uma delas é igual a zero. Ou seja:

Resposta

Como o rotacional de é zero, o campo vetorial é conservativo.

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