Seja r(x, y) = x i + y j + z k e r = |r| mostre que
∇ · (r r) = 4 r

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um vetor posição e a magnitude desse vetor, que é . A tarefa é mostrar que a divergente do produto de r por r é igual a , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a divergente de um campo vetorial e como calcular isso em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a divergente de um campo vetorial. A divergente, denotada por , mede a taxa de “fluxo” que está saindo de um ponto no campo vetorial F. Em coordenadas cartesianas, para um vetor , a divergente é dada por:

Passo 3

Agora, vamos identificar o nosso campo vetorial . Sabemos que , então multiplicando pelo escalar r, temos:
Portanto, as componentes são:

Passo 4

Para calcular a divergente, precisamos das derivadas parciais dessas componentes em relação às suas respectivas variáveis. Mas primeiro, vamos lembrar que , então as derivadas de r são:

Passo 5

Agora, vamos calcular cada derivada parcial:

Passo 6

Agora, somamos essas três derivadas parciais para obter a divergente:
Mas observamos que , então:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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