Seja
e
mostre que
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um vetor posição
e a magnitude desse vetor, que é
. A tarefa é mostrar que a divergente do produto de
por
é igual a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a divergente de um campo vetorial e como calcular isso em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a divergente de um campo vetorial. A divergente, denotada por
, mede a taxa de “fluxo” que está saindo de um ponto no campo vetorial
. Em coordenadas cartesianas, para um vetor
, a divergente é dada por:
Passo 3
Agora, vamos identificar o nosso campo vetorial
. Sabemos que
, então multiplicando pelo escalar
, temos:
Portanto, as componentes são:
Passo 4
Para calcular a divergente, precisamos das derivadas parciais dessas componentes em relação às suas respectivas variáveis. Mas primeiro, vamos lembrar que
, então as derivadas de
são:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 6
Agora, somamos essas três derivadas parciais para obter a divergente:
Mas observamos que
, então:
Resposta
Portanto, mostramos que
.