Considere o campo vetorial
.
Calcule o trabalho que o campo de forças
realiza em uma partícula que se desloca uma volta no círculo
no sentido anti-horário começando e terminando no ponto
.
Calcule o trabalho que o campo de forças
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial
e precisa calcular o trabalho que esse campo realiza quando uma partícula dá uma volta completa no círculo
, no sentido anti-horário, começando e terminando no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente de integrais de linha e possivelmente o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho no contexto de campos vetoriais. O trabalho realizado por um campo
ao mover uma partícula ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha:
Aqui,
indica que a integral é ao longo de uma trajetória fechada (volta completa no círculo), e
é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo da curva.
Passo 3
Calculando diretamente a integral de linha pode ser trabalhoso, então vamos usar o Teorema de Green para facilitar. O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região
delimitada por essa curva:
Onde
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo essas no Teorema de Green:
Passo 5
A integral
representa a área da região
. Como
é o interior do círculo
, a área é igual à área de um círculo de raio 1, que é
.
Passo 6
Substituindo a área na expressão anterior:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo
ao percorrer o círculo é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
ao longo da curva
de equações paramétricas
.
Considere o campo vetorial
.
O campo , definido em todo plano
, é conservativo? Justifique sua resposta. Se sim, encontre uma função
tal que
.
O campo
Considere o campo vetorial
.
Calcule o trabalho que o campo de forças realiza em uma partícula que se desloca desde
até
ao longo do arco do círculo
no sentido anti-horário.
Calcule o trabalho que o campo de forças
Considere o campo vetorial
.
O campo , definido em todo plano
, é conservativo? Justifique sua resposta. Se sim, encontre uma função
tal que
.
O campo