Considere o campo vetorial .
Calcule o trabalho que o campo de forças realiza em uma partícula que se desloca uma volta no círculo no sentido anti-horário começando e terminando no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial e precisa calcular o trabalho que esse campo realiza quando uma partícula dá uma volta completa no círculo , no sentido anti-horário, começando e terminando no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente de integrais de linha e possivelmente o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho no contexto de campos vetoriais. O trabalho realizado por um campo ao mover uma partícula ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Aqui, indica que a integral é ao longo de uma trajetória fechada (volta completa no círculo), e é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo da curva.

Passo 3

Calculando diretamente a integral de linha pode ser trabalhoso, então vamos usar o Teorema de Green para facilitar. O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva:
Onde . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo essas no Teorema de Green:

Passo 5

A integral representa a área da região . Como é o interior do círculo , a área é igual à área de um círculo de raio 1, que é .

Passo 6

Substituindo a área na expressão anterior:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo ao percorrer o círculo é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha
ao longo da curva de equações paramétricas .
Considere o campo vetorial .
O campo , definido em todo plano , é conservativo? Justifique sua resposta. Se sim, encontre uma função tal que .
Considere o campo vetorial .
Calcule o trabalho que o campo de forças realiza em uma partícula que se desloca desde até ao longo do arco do círculo no sentido anti-horário.
Considere o campo vetorial .
O campo , definido em todo plano , é conservativo? Justifique sua resposta. Se sim, encontre uma função tal que .