Considere o campo vetorial .
Calcule o trabalho que o campo de forças realiza em uma partícula que se desloca desde até ao longo do arco do círculo no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho que um campo de forças realiza em uma partícula que se move do ponto até ao longo do arco do círculo no sentido anti-horário.
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente cálculo de trabalho realizado por um campo vetorial usando integrais de linha.
O que precisamos para resolver:
  1. Parametrizar a curva do caminho.
  2. Expressar o trabalho como uma integral de linha.
  3. Calcular a integral para encontrar o trabalho realizado.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho que a partícula segue. Como estamos lidando com um arco de círculo no sentido anti-horário, podemos usar a parametrização trigonométrica padrão.
Definimos como o ângulo que varia de 0 a para ir de a . Então, a parametrização fica:

Passo 3

Agora, precisamos expressar o trabalho realizado pelo campo ao longo dessa curva. O trabalho é dado pela integral de linha:
Onde:
  • é o campo vetorial.
  • é o vetor diferencial de deslocamento ao longo da curva .

Passo 4

Vamos calcular . Derivando em relação a :
Então,
Agora, substituímos pelos valores na parametrização :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando cada termo:
Agora, integramos de a :
Vamos resolver cada integral separadamente:
Calculando cada uma:
Somando todos os resultados e avaliando de 0 a :
Calculando nos limites:
Em :
Em :
Subtraindo:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças é unidades de trabalho.

Exercícios relacionados

Considere o campo vetorial .
Calcule o trabalho que o campo de forças realiza em uma partícula que se desloca uma volta no círculo no sentido anti-horário começando e terminando no ponto .
Calcule a integral de linha
ao longo da curva de equações paramétricas .
Considere o campo vetorial .
O campo , definido em todo plano , é conservativo? Justifique sua resposta. Se sim, encontre uma função tal que .
Considere o campo vetorial
Calcule o trabalho realizado pelo campo em uma partícula que se move de até ao longo de uma curva lisa arbitrária de até .