Considere o campo vetorial F(x, y) = <3y^2 + 2xy, 6xy + x^2 + 1>.
Calcule o trabalho que o campo de forças F realiza em uma partícula que se desloca desde 1,0 até 0,1 ao longo do arco do círculo x^2 + y^2 = 1 no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho que um campo de forças realiza em uma partícula que se move do ponto até ao longo do arco do círculo no sentido anti-horário.
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente cálculo de trabalho realizado por um campo vetorial usando integrais de linha.
O que precisamos para resolver:
  1. Parametrizar a curva do caminho.
  2. Expressar o trabalho como uma integral de linha.
  3. Calcular a integral para encontrar o trabalho realizado.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho que a partícula segue. Como estamos lidando com um arco de círculo no sentido anti-horário, podemos usar a parametrização trigonométrica padrão.
Definimos como o ângulo que varia de 0 a para ir de a . Então, a parametrização fica:

Passo 3

Agora, precisamos expressar o trabalho realizado pelo campo ao longo dessa curva. O trabalho é dado pela integral de linha:
Onde:
  • é o campo vetorial.
  • é o vetor diferencial de deslocamento ao longo da curva .

Passo 4

Vamos calcular . Derivando em relação a :
Então,
Agora, substituímos pelos valores na parametrização :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando cada termo:
Agora, integramos de a :
Vamos resolver cada integral separadamente:
Calculando cada uma:
Somando todos os resultados e avaliando de 0 a :
Calculando nos limites:
Em :
Em :
Subtraindo:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças é unidades de trabalho.

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