Considere o campo vetorial
.
Calcule o trabalho que o campo de forças
realiza em uma partícula que se desloca desde
até
ao longo do arco do círculo
no sentido anti-horário.
Calcule o trabalho que o campo de forças
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho que um campo de forças
realiza em uma partícula que se move do ponto
até
ao longo do arco do círculo
no sentido anti-horário.
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente cálculo de trabalho realizado por um campo vetorial usando integrais de linha.
O que precisamos para resolver:
- Parametrizar a curva do caminho.
- Expressar o trabalho como uma integral de linha.
- Calcular a integral para encontrar o trabalho realizado.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o caminho que a partícula segue. Como estamos lidando com um arco de círculo
no sentido anti-horário, podemos usar a parametrização trigonométrica padrão.
Definimos
como o ângulo que varia de 0 a
para ir de
a
. Então, a parametrização fica:
Passo 3
Agora, precisamos expressar o trabalho realizado pelo campo
ao longo dessa curva. O trabalho
é dado pela integral de linha:
Onde:
-
é o campo vetorial. -
é o vetor diferencial de deslocamento ao longo da curva .
Passo 4
Vamos calcular
. Derivando
em relação a
:
Então,
Agora, substituímos
pelos valores na parametrização
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando cada termo:
Agora, integramos de
a
:
Vamos resolver cada integral separadamente:
Calculando cada uma:
Somando todos os resultados e avaliando de 0 a
:
Calculando nos limites:
Em
:
Em
:
Subtraindo:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças
é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
.
Calcule o trabalho que o campo de forças realiza em uma partícula que se desloca uma volta no círculo
no sentido anti-horário começando e terminando no ponto
.
Calcule o trabalho que o campo de forças
Calcule a integral de linha
ao longo da curva
de equações paramétricas
.
Considere o campo vetorial
.
O campo , definido em todo plano
, é conservativo? Justifique sua resposta. Se sim, encontre uma função
tal que
.
O campo
Considere o campo vetorial
Calcule o trabalho realizado pelo campo em uma partícula que se move de
até
ao longo de uma curva lisa arbitrária de
até
.
Calcule o trabalho realizado pelo campo