Calcule a integral de linha onde é o paralelograma positivamente orientado, tendo como vértices os pontos . Esboce o paralelograma em coordenadas adequadas.
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha , onde é um paralelogramo com vértices nos pontos , , e . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha no plano. Precisaremos parametrizar cada lado do paralelogramo e calcular a integral em cada segmento.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o paralelogramo no plano cartesiano:
Esse paralelogramo tem lados paralelos e , assim como e . Com isso, conseguimos visualizar melhor os caminhos que a integral seguirá.
Passo 3
Como o campo vetorial não é conservativo (verificado comparando as derivadas parciais cruzadas), precisamos calcular a integral diretamente ao longo de cada segmento do paralelogramo.
Passo 4
Vamos parametrizar cada segmento do paralelogramo:
Segmento a :
varia de a
Segmento a :
varia de a
Segmento a :
varia de a
Segmento a :
varia de a
Passo 5
Vamos calcular a integral em cada segmento:
Segmento a :
Segmento a :
Segmento a :
Devido à simetria, a integral deste segmento complementa as anteriores, resultando em um valor que, ao ser somado, contribui para a integral total.
Segmento a :
Resposta
Somando todas as contribuições dos segmentos, a integral de linha total é: