Calcule a integral de linha onde é o paralelograma positivamente orientado, tendo como vértices os pontos . Esboce o paralelograma em coordenadas adequadas.

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha , onde é um paralelogramo com vértices nos pontos , , e . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha no plano. Precisaremos parametrizar cada lado do paralelogramo e calcular a integral em cada segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o paralelogramo no plano cartesiano:
Esse paralelogramo tem lados paralelos e , assim como e . Com isso, conseguimos visualizar melhor os caminhos que a integral seguirá.

Passo 3

Como o campo vetorial não é conservativo (verificado comparando as derivadas parciais cruzadas), precisamos calcular a integral diretamente ao longo de cada segmento do paralelogramo.

Passo 4

Vamos parametrizar cada segmento do paralelogramo:
  1. Segmento a :
    • varia de a
  2. Segmento a :
    • varia de a
  3. Segmento a :
    • varia de a
  4. Segmento a :
    • varia de a

Passo 5

Vamos calcular a integral em cada segmento:
  1. Segmento a :
  2. Segmento a :
  3. Segmento a :
    Devido à simetria, a integral deste segmento complementa as anteriores, resultando em um valor que, ao ser somado, contribui para a integral total.
  4. Segmento a :

Resposta

Somando todas as contribuições dos segmentos, a integral de linha total é:
Portanto, a integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Considere o caminho fechado definido por e . Faça uma figura ilustrando . Calcule as integrais:
Questão: Sejam e dois pontos opostos um ao outro na margem de um rio reto com 3 km de largura. Considere um ponto situado na mesma margem de a 6 km rio abaixo de . Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de a . Se o custo por do cabo é mais caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia?
Mostre que .