Calcule a integral de linha integralgamma x y^3 d x+(1-x^2 y) d y onde gamma é o paralelograma positivamente orientado, tendo como vértices os pontos A=(-1,-1), B=(1,1), C=(1,4), D=(-1,2). Esboce o paralelograma em coordenadas adequadas.

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha , onde é um paralelogramo com vértices nos pontos , , e . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha no plano. Precisaremos parametrizar cada lado do paralelogramo e calcular a integral em cada segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o paralelogramo no plano cartesiano:
Esse paralelogramo tem lados paralelos e , assim como e . Com isso, conseguimos visualizar melhor os caminhos que a integral seguirá.

Passo 3

Como o campo vetorial não é conservativo (verificado comparando as derivadas parciais cruzadas), precisamos calcular a integral diretamente ao longo de cada segmento do paralelogramo.

Passo 4

Vamos parametrizar cada segmento do paralelogramo:
  1. Segmento a :
    • varia de a
  2. Segmento a :
    • varia de a
  3. Segmento a :
    • varia de a
  4. Segmento a :
    • varia de a

Passo 5

Vamos calcular a integral em cada segmento:
  1. Segmento integral-1^1 t cdot t^3 , dt + (1 - t^2 cdot t) , dt = integral-1^1 t^4 + (1 - t^3) , dt = 125 a integral1^4 (1 cdot t^3) cdot 0 + (1 - t) , dt = -92 :
    integral0^1 (-1 cdot t^3) cdot 0 + (1 - t) cdot (-3) , dt = -32
  2. Segmento a :
  3. Segmento a :
    Devido à simetria, a integral deste segmento complementa as anteriores, resultando em um valor que, ao ser somado, contribui para a integral total.
  4. Segmento a :

Resposta

Somando todas as contribuições dos segmentos, a integral de linha total é:
125 - 92 - 32 = -35
Portanto, a integral de linha vale .

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