Questão: Sejam e dois pontos opostos um ao outro na margem de um rio reto com 3 km de largura. Considere um ponto situado na mesma margem de a 6 km rio abaixo de . Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de a . Se o custo por do cabo é mais caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia?

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos, e , situados nas margens opostas de um rio reto que tem 3 km de largura. O ponto está na mesma margem de , mas 6 km rio abaixo de . A empresa quer estender um cabo de até , mas o cabo que passa debaixo d’água é 25% mais caro por quilômetro do que o que passa em terra. O nosso objetivo aqui é descobrir qual é o caminho mais barato para a empresa colocar esse cabo.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria e otimização de custos. Vamos analisar os possíveis caminhos que o cabo pode seguir e calcular qual deles tem o menor custo total.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o rio como uma linha reta com 3 km de largura. está de um lado e do outro. está na mesma margem de , mas 6 km rio abaixo.
Agora, para estender o cabo de até , a empresa tem duas opções principais:
  1. Caminho direto de a passando debaixo d’água.
  2. Uma combinação de trecho debaixo d’água e trecho em terra: por exemplo, de até algum ponto na margem de , passando debaixo d’água, e depois de a em terra.
Vamos analisar qual dessas opções sai mais em conta.

Passo 3

Vamos calcular o custo para cada uma das opções.
Opção 1: Cabo Direto de a
Primeiro, precisamos calcular a distância direta de a . Como e estão opostos com 3 km de distância, e está 6 km rio abaixo de , podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar essa distância.
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O custo desse cabo é todo subaquático, então aplicamos o aumento de 25%.
Opção 2: Cabo de a (debaixo d’água) e de a (em terra)
Vamos escolher um ponto na margem de que está a km rio abaixo de . A distância de a será sempre de 3 km (a largura do rio), independente de onde está.
A distância de a será a distância em terra, que varia conforme a posição de . Se está a km rio abaixo de , então a distância de a é:
â
O custo total será:
Queremos minimizar esse custo. Observando a expressão, o menor valor ocorre quando é mínimo, ou seja, quando km.
Então, o ponto deve estar exatamente a 6 km rio abaixo de , alinhado com .
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Resposta

A opção mais barata é estender o cabo de diretamente para um ponto na margem a 6 km rio abaixo de e, em seguida, de a em terra, resultando em um custo total de unidades.

Exercícios relacionados

Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a região das mesmas: e
Considere o campo de vetores
e as curvas e .
Calcule as integrais de linha: e .
Considere o caminho fechado definido por e . Faça uma figura ilustrando . Calcule as integrais:
Calcule a integral de linha onde é o paralelograma positivamente orientado, tendo como vértices os pontos . Esboce o paralelograma em coordenadas adequadas.