Questão: Sejam A e B dois pontos opostos um ao outro na margem de um rio reto com 3 km de largura. Considere um ponto C situado na mesma margem de B a 6 km rio abaixo de B. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A a C. Se o custo por k m do cabo é 25 % mais caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia?

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos, A e B, situados nas margens opostas de um rio reto que tem 3 km de largura. O ponto C está na mesma margem de B, mas 6 km rio abaixo de B. A empresa quer estender um cabo de A até C, mas o cabo que passa debaixo d’água é 25% mais caro por quilômetro do que o que passa em terra. O nosso objetivo aqui é descobrir qual é o caminho mais barato para a empresa colocar esse cabo.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria e otimização de custos. Vamos analisar os possíveis caminhos que o cabo pode seguir e calcular qual deles tem o menor custo total.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o rio como uma linha reta com 3 km de largura. A está de um lado e B do outro. C está na mesma margem de B, mas 6 km rio abaixo.
Agora, para estender o cabo de A até C, a empresa tem duas opções principais:
  1. Caminho direto de A a C passando debaixo d’água.
  2. Uma combinação de trecho debaixo d’água e trecho em terra: por exemplo, de A até algum ponto D na margem de A, passando debaixo d’água, e depois de D a C em terra.
Vamos analisar qual dessas opções sai mais em conta.

Passo 3

Vamos calcular o custo para cada uma das opções.
Opção 1: Cabo Direto de A a C
Primeiro, precisamos calcular a distância direta de A a C. Como A e B estão opostos com 3 km de distância, e C está 6 km rio abaixo de B, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar essa distância.
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O custo desse cabo é todo subaquático, então aplicamos o aumento de 25%.
Opção 2: Cabo de A a D (debaixo d’água) e de D a C (em terra)
Vamos escolher um ponto D na margem de A que está a x km rio abaixo de A. A distância de A a D será sempre de 3 km (a largura do rio), independente de onde D está.
A distância de D a C será a distância em terra, que varia conforme a posição de D. Se D está a x km rio abaixo de A, então a distância de D a C é:
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O custo total será:
Queremos minimizar esse custo. Observando a expressão, o menor valor ocorre quando é mínimo, ou seja, quando km.
Então, o ponto D deve estar exatamente a 6 km rio abaixo de A, alinhado com C.
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Resposta

A opção mais barata é estender o cabo de A diretamente para um ponto D na margem a 6 km rio abaixo de A e, em seguida, de D a C em terra, resultando em um custo total de unidades.

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