Questão: Sejam
e
dois pontos opostos um ao outro na margem de um rio reto com 3 km de largura. Considere um ponto
situado na mesma margem de
a 6 km rio abaixo de
. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de
a
. Se o custo por
do cabo é
mais caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia?
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos,
e
, situados nas margens opostas de um rio reto que tem 3 km de largura. O ponto
está na mesma margem de
, mas 6 km rio abaixo de
. A empresa quer estender um cabo de
até
, mas o cabo que passa debaixo d’água é 25% mais caro por quilômetro do que o que passa em terra. O nosso objetivo aqui é descobrir qual é o caminho mais barato para a empresa colocar esse cabo.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria e otimização de custos. Vamos analisar os possíveis caminhos que o cabo pode seguir e calcular qual deles tem o menor custo total.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o rio como uma linha reta com 3 km de largura.
está de um lado e
do outro.
está na mesma margem de
, mas 6 km rio abaixo.
Agora, para estender o cabo de
até
, a empresa tem duas opções principais:
- Caminho direto de
a passando debaixo d’água. - Uma combinação de trecho debaixo d’água e trecho em terra: por exemplo, de
até algum ponto na margem de , passando debaixo d’água, e depois de a em terra.
Vamos analisar qual dessas opções sai mais em conta.
Passo 3
Vamos calcular o custo para cada uma das opções.
Opção 1: Cabo Direto de
a
Primeiro, precisamos calcular a distância direta de
a
. Como
e
estão opostos com 3 km de distância, e
está 6 km rio abaixo de
, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar essa distância.
O custo desse cabo é todo subaquático, então aplicamos o aumento de 25%.
Opção 2: Cabo de
a
(debaixo d’água) e de
a
(em terra)
Vamos escolher um ponto
na margem de
que está a
km rio abaixo de
. A distância de
a
será sempre de 3 km (a largura do rio), independente de onde
está.
A distância de
a
será a distância em terra, que varia conforme a posição de
. Se
está a
km rio abaixo de
, então a distância de
a
é:
O custo total será:
Queremos minimizar esse custo. Observando a expressão, o menor valor ocorre quando
é mínimo, ou seja, quando
km.
Então, o ponto
deve estar exatamente a 6 km rio abaixo de
, alinhado com
.
Resposta
A opção mais barata é estender o cabo de
diretamente para um ponto
na margem a 6 km rio abaixo de
e, em seguida, de
a
em terra, resultando em um custo total de
unidades.
Exercícios relacionados
Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a região das mesmas:
e
Considere o campo de vetores
e as curvas
e
.
Calcule as integrais de linha: e
.
Calcule as integrais de linha:
Considere o caminho fechado
definido por
e
. Faça uma figura ilustrando
. Calcule as integrais:
Calcule a integral de linha
onde
é o paralelograma positivamente orientado, tendo como vértices os pontos
. Esboce o paralelograma em coordenadas adequadas.