Fazendo a mudança de variáveis indicada por T, escreva a expressão da integral
integral duplaS x y d x d y
como integral iterada nas variáveis (u, v).
(Obs. Não é necessário calcular a integral)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para reescrever a integral dupla usando uma mudança de variáveis indicada pela transformação . Isso está relacionado ao conteúdo de mudança de variáveis em integrais múltiplas, onde a gente muda de sistema de coordenadas para facilitar o cálculo da integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar e em termos das novas variáveis e , calcular o jacobiano dessa transformação e substituir tudo na integral original.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a transformação x = phi(u, v) . Geralmente, y = psi(u, v) nos dá funções que relacionam as variáveis antigas e com as novas variáveis e . Então, temos:
Essas funções e dependem de como a transformação está definida. Sem uma definição específica de , vamos manter isso de forma geral.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o jacobiano da transformação J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v . O jacobiano é crucial porque ele ajusta a área (ou volume, em casos de integrais triplas) ao mudar de coordenadas. O jacobiano partial xpartial u = partial phipartial u, partial xpartial v = partial phipartial v é dado pelo determinante da matriz das derivadas parciais:
partial ypartial u = partial psipartial u, partial ypartial v = partial psipartial v
Então, calculamos cada uma dessas derivadas:
E depois calculamos o determinante dessa matriz.

Passo 4

Com as expressões de integral duplaS x y , dx , dy = integral duplaD phi(u, v) cdot psi(u, v) cdot |J| , du , dv e em termos de e e com o jacobiano calculado, substituímos na integral original. A fórmula da mudança de variáveis para integrais duplas fica assim:
Aqui, é a região no plano que corresponde à região no plano após a transformação .

Resposta

Após fazer a mudança de variáveis indicada por integral duplaD phi(u, v) cdot psi(u, v) cdot | partial phipartial u & partial phipartial v partial psipartial u & partial psipartial v | , du , dv , a integral pode ser escrita como:
Onde:
  • é o determinante do jacobiano da transformação
  • é a região no plano correspondente a no plano .

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