Fazendo a mudança de variáveis indicada por , escreva a expressão da integral
como integral iterada nas variáveis .
(Obs. Não é necessário calcular a integral)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para reescrever a integral dupla usando uma mudança de variáveis indicada pela transformação . Isso está relacionado ao conteúdo de mudança de variáveis em integrais múltiplas, onde a gente muda de sistema de coordenadas para facilitar o cálculo da integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar e em termos das novas variáveis e , calcular o jacobiano dessa transformação e substituir tudo na integral original.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a transformação . Geralmente, nos dá funções que relacionam as variáveis antigas e com as novas variáveis e . Então, temos:
Essas funções e dependem de como a transformação está definida. Sem uma definição específica de , vamos manter isso de forma geral.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o jacobiano da transformação . O jacobiano é crucial porque ele ajusta a área (ou volume, em casos de integrais triplas) ao mudar de coordenadas. O jacobiano é dado pelo determinante da matriz das derivadas parciais:
Então, calculamos cada uma dessas derivadas:
E depois calculamos o determinante dessa matriz.
Passo 4
Com as expressões de integral duplaS x y , dx , dy = integral duplaD phi(u, v) cdot psi(u, v) cdot |J| , du , dv e em termos de e e com o jacobiano calculado, substituímos na integral original. A fórmula da mudança de variáveis para integrais duplas fica assim:
Aqui, é a região no plano que corresponde à região no plano após a transformação .
Resposta
Após fazer a mudança de variáveis indicada por integral duplaD phi(u, v) cdot psi(u, v) cdot | partial phipartial u & partial phipartial v partial psipartial u & partial psipartial v | , du , dv , a integral pode ser escrita como: