Considere o caminho fechado definido por e . Faça uma figura ilustrando . Calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar um caminho fechado chamado , que é formado por duas equações: uma elipse para e uma parábola para . Depois disso, temos que calcular duas integrais de linha ao longo desse caminho. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e como elas funcionam em caminhos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a figura de . A parte superior do caminho é uma elipse definida por quando . Essa é uma elipse alongada no eixo y. A parte inferior é uma parábola para . Então, juntando essas duas curvas, temos um caminho fechado que começa na parte superior da elipse, desce pela parábola e fecha de volta na elipse.

Passo 3

Agora, vamos para as integrais. A primeira integral é:
E a segunda é:
Para resolver essas integrais, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de um caminho fechado com integrais duplas sobre a região que o caminho delimita.

Passo 4

Vamos começar com a primeira integral:
Identificamos que isso pode ser escrito na forma:
Onde e . Segundo o Teorema de Green, essa integral de linha é igual à integral dupla sobre a região limitada por de:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Subtraindo:
Então, a integral dupla é zero, o que significa que a integral de linha também é zero.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral:
Novamente, podemos escrever na forma de:
Onde e . Aplicando o Teorema de Green, precisamos calcular:
Calculando as derivadas parciais:
Subtraindo:
Então, novamente, a integral dupla é zero, o que implica que a integral de linha também é zero.

Resposta

Ambas as integrais são iguais a zero:

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