Considere o caminho fechado
definido por
e
. Faça uma figura ilustrando
. Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar um caminho fechado chamado
, que é formado por duas equações: uma elipse
para
e uma parábola
para
. Depois disso, temos que calcular duas integrais de linha ao longo desse caminho. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e como elas funcionam em caminhos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a figura de
. A parte superior do caminho é uma elipse definida por
quando
. Essa é uma elipse alongada no eixo y. A parte inferior é uma parábola
para
. Então, juntando essas duas curvas, temos um caminho fechado que começa na parte superior da elipse, desce pela parábola e fecha de volta na elipse.
Passo 3
Agora, vamos para as integrais. A primeira integral é:
E a segunda é:
Para resolver essas integrais, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de um caminho fechado com integrais duplas sobre a região que o caminho delimita.
Passo 4
Vamos começar com a primeira integral:
Identificamos que isso pode ser escrito na forma:
Onde
e
. Segundo o Teorema de Green, essa integral de linha é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
de:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Subtraindo:
Então, a integral dupla é zero, o que significa que a integral de linha também é zero.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda integral:
Novamente, podemos escrever na forma de:
Onde
e
. Aplicando o Teorema de Green, precisamos calcular:
Calculando as derivadas parciais:
Subtraindo:
Então, novamente, a integral dupla é zero, o que implica que a integral de linha também é zero.
Resposta
Ambas as integrais são iguais a zero:
Exercícios relacionados
Questão: Sejam
e
dois pontos opostos um ao outro na margem de um rio reto com 3 km de largura. Considere um ponto
situado na mesma margem de
a 6 km rio abaixo de
. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de
a
. Se o custo por
do cabo é
mais caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia?
Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a região das mesmas:
e
Calcule a integral de linha
onde
é o paralelograma positivamente orientado, tendo como vértices os pontos
. Esboce o paralelograma em coordenadas adequadas.