Considere o caminho fechado gamma definido por x^2+2 y^2=1, y >= 0 e y=1-x^2, y <= 0. Faça uma figura ilustrando gamma. Calcule as integrais:
integralgamma y d x-x d yx^2+y^2, , integralgamma x d x+y d yx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar um caminho fechado chamado gamma, que é formado por duas equações: uma elipse x^2 + 2y^2 = 1 para y >= 0 e uma parábola y = 1 - x^2 para y <= 0. Depois disso, temos que calcular duas integrais de linha ao longo desse caminho. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e como elas funcionam em caminhos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a figura de gamma. A parte superior do caminho é uma elipse definida por x^2 + 2y^2 = 1 quando y >= 0. Essa é uma elipse alongada no eixo y. A parte inferior é uma parábola y = 1 - x^2 para y <= 0. Então, juntando essas duas curvas, temos um caminho fechado que começa na parte superior da elipse, desce pela parábola e fecha de volta na elipse.

Passo 3

Agora, vamos para as integrais. A primeira integral é:
integralgamma y , dx - x , dyx^2 + y^2
E a segunda é:
integralgamma x , dx + y , dyx^2 + y^2
Para resolver essas integrais, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de um caminho fechado com integrais duplas sobre a região que o caminho delimita.

Passo 4

Vamos começar com a primeira integral:
integralgamma y , dx - x , dyx^2 + y^2
Identificamos que isso pode ser escrito na forma:
integralgamma P , dx + Q , dy
Onde P = yx^2 + y^2 e Q = -xx^2 + y^2. Segundo o Teorema de Green, essa integral de linha é igual à integral dupla sobre a região D limitada por gamma de:
partial Qpartial x - partial Ppartial y
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = - (x^2 + y^2) + 2x^2(x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2
partial Ppartial y = (x^2 + y^2) - 2y^2(x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2
Subtraindo:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0
Então, a integral dupla é zero, o que significa que a integral de linha também é zero.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral:
integralgamma x , dx + y , dyx^2 + y^2
Novamente, podemos escrever na forma de:
integralgamma P , dx + Q , dy
Onde P = xx^2 + y^2 e Q = yx^2 + y^2. Aplicando o Teorema de Green, precisamos calcular:
partial Qpartial x - partial Ppartial y
Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = -2xy(x^2 + y^2)^2
partial Ppartial y = -2xy(x^2 + y^2)^2
Subtraindo:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0
Então, novamente, a integral dupla é zero, o que implica que a integral de linha também é zero.

Resposta

Ambas as integrais são iguais a zero:
integralgamma y , dx - x , dyx^2 + y^2 = 0 e integralgamma x , dx + y , dyx^2 + y^2 = 0

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